Svar till övningar på avsnitt 4.1

Linjär algebra

4.1.4 Jämför andra koordinaten i höger- och vänsterledet. I högerledet blir den noll oavsett hur man väljer konstanterna $c_1$, $c_2$ och $c_3$. I vänsterledet är andra koordinaten $-2$.

4.1.6a $||u+v||=||(4,4,10,1)||=\sqrt{4²+4²+10²+1²}=\sqrt{133}$

4.1.6c $||-2u||+2||u||=|-2|||u||+2||u||=4||u||=4\sqrt{4²+1²+2²+3²}=4\sqrt{30}$

4.1.9c $u \cdot v = 6+2-16+15=7$

4.1.9d $u \cdot v = 2-2+0+8+3=11$

4.1.11c $d(u,v)=||u-v||=||(3,-4,-5,-3)||=\sqrt{59}$

4.1.11d $d(u,v)=||u-v||=||(7,-4,-1,-5,-3)||=10$

4.1.14b $u\cdot v=(-2,-2,-2)\cdot(1,1,1)=-2-2-2=-6\ne 0$. Alltså är u och v inte ortogonala.

4.1.14.d $u\cdot v=(-2,6,-10,1)\cdot(2,1,-2,9)= -4+6+20+9=31\ne 0$. Alltså är u och v inte ortogonala.

4.1.14.f $u\cdot v= (a,b)\cdot(-b,a)=-ab+ba=0$. Alltså är u och v ortogonala.

4.1.16 Vi söker vektorer $p=(a,b,c,d)$ så att $p$ har längd ett och är ortogonal mot $u,v$ och $w$. Detta kan uttryckas på så sätt att $p \dot p=1$, $p \cdot u =0$, $p \cdot v =0$ och $p \cdot w =0$. I utskriven form har vi $a^2+b²+c²+d²=1$, $2a+b-4c=0$, $-a-b+2c+2d=0$ och $3a+2b+5c+4d=0$. De sista tre ekvationerna utgör ett linjärt system som har lösningarna $(a,b,c,d)=(34t,-44t,6t,-11t)$. Det första villkoret ger sedan $57|t|=1$, dvs $t=\pm \frac{1}{57}$, dvs $p=\pm \frac{1}{57} (34,-44,6,-11)$.

4.1.24 Resonemanget är precis detsamma som i beviset av sats 4.1.7, det blir bara lite fler termer.

4.1.26 Använd Cauchy-Schwartz olikhet på vektorerna $u=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ och $v=(a,b)$.