Dag 8

Linjär algebra

2.4 En kombinatorisk beskrivning av determinanter

Vi har definierat determinanten av $n \times n$-matris genom utveckling efter första raden vilket ger en summa av $n$ stycken mindre ($(n-1) \times (n-1)$) determinanter. Dessa definieras på samma sätt som en summa av determinanter av kvadratiska matris av storlek $(n-2) \times (n-2)$. Denna rekursion fortsätter tills vi får determinanter av storlek ett vilka ges av $|a|=a$. Vi kallade detta en rekursiv definition.

Detta avsnitt behandlar ett annat sätt att se determinanter. Man kan visa att en direkt formel för determinanten av matrisen

$\begin{displaymath}

       A=\left(\begin{array}{rrrrrr}
       a_{11}&a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1,n-1} & a_{1,n}\\
       a_{21}&a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2,n}\\\\
       && \cdots&&&
       a_{n1}&a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{n,n}\\
       \end{array}\right)
       \end{displaymath}$