Dag 20

Linjär algebra

[redigera] 7.3 Diagonalisering av symmetriska matriser

Vi har sett att en hel del, men inte alla, matriser kan diagonaliseras. Ännu trevligare är om man kan hitta en ortonormal bas av egenvektorer. (Repetera vad detta innebär och hur man kan skapa en ON-bas från en godtycklig bas med Gram-Schmidts metod om du inte minns.) Det visar sig (se sats 7.3.1) att det är exakt de matriser som är symmetriska som har en ON-bas av egenvektorer. Läs resonemanget överst på sidan 381 som på ett enkelt sätt visar att en matris med ON-bas av egenvektorer måste vara symmetrisk. Resten av beviset för satsen behöver du inte fördjupa dig i.

Så hur gör man då för att finna en ON-bas till en given symmetrisk matris? (Eller annorlunda uttryckt för att hitta en ortogonal matris $P$ som diagonaliserar $A$.) Vi får hjälp av sats 7.3.2 som garanterar att egenvektorer som kommer från olika egenvärden är vinkelräta. På grund av detta räcker det att se på varje egenrum för sig, och i vart och ett av dem skapa en ortonormerad mängd av egenvektorer. Detta gör man genom att först beräkna en bas för egenrummet och sedan tillämpa Gram-Schmidts metod på denna. För att se detaljerna läs exempel 1.

Gör följande övningar i Avsnitt 7.3 första hand:

• 7.3.2, 7.3.3, 7.3.4, 7.3.5, 7.3.6 och 7.3.7

Har du tid över kan du göra även:

• 7.2.11

De svar som inte finns i facit finns här utom Svar till 7.3.11.