Lösning av uppgift 8.3.16

Linjär algebra

8.3.16 Bevisa att om $V$ och $W$ är ändligdimensionella vektorrum med $dim W < dim V$ så finns ingen injektiv linjär avbildning $T: V \rightarrow W$.

Enligt dimensionssatsen är $dim V$ summan av dimensionerna av $T$'s nollrum och värderum. Värderummet är delrum till $W$ och har därför högst dimension $dim W$. Nollrumet har dimension noll då $T$ är injektiv. Detta ger $dim V \leq dim W$, vilket motsäger antagandet $dim W < dim V$.