Lösningar till 1.4.14 och 1.4.16

Linjär algebra

[redigera] Övning 1.4.14

Visa att om en kvadratisk matris $A$ uppfyller $A^2-3A+I=0$ så är $A^{-1}=3I-A$.

Lösning: För att visa att $B=3I-A$ är en invers till $A$ så behöver vi kontrollera att $AB=BA=I$. Vi har $AB=A(3I-A)=3A-A^2=I$. I sista likheten har vi använt sambandet $A^2-3A+I=0$. På liknande sett ser vi att $BA=(3I-A)A=3A-A^2=I$ och därmed är beviset klart.

[redigera] Övning 1.4.16

Är summan av två inverterbara matriser alltid inverterbar?

Lösning: Nej. Ett motexempel ges av $A=I$, $B=-I$ som båda är inverterbara ($A^{-1}=I$, $B^{-1}=-I$) men vars summa $A+B=0$ saknar invers. (Kan du förklara varför?)