Svar på övningar i avsnitt 8.1

Linjär algebra

8.1.1 Visa att $T(x_1,x_2)=(x_1+2x_2,3x_1-x_2)$ är linjär.

Låt $u=(x_1,x_2)$ och $v=(y_1,y_2)$. Då $T(u+v)=T(x_1+y_1,x_2+y_2)=(x_1+y_1+2(x_2+y_2),3(x_1+y_1)-(x_2+y_2))=(x_1+y_1+2x_2+2y_2,3x_1+3y_1-x_2-y_2))$ och $T(u)+T(v)=(x_1+2x_2,3x_1-x_2)+(y_1+2y_2,3y_1-y_2)=(x_1+y_1+2x_2+2y_2,3x_1+3y_1-x_2-y_2))$ vilket visar första egenskapen i definitionen av linjäritet.

Vi har också att $T(\alpha u)=T(\alpha x_1,\alpha x_2)=(\alpha x_1+2 \alpha x_2,3 \alpha x_1-\alpha x_2)=\alpha(x_1+2x_2,3x_1-x_2)= \alpha T(u)$, vilket visar den andra egenskapen.

8.1.2 Görs på precis samma sätt som 8.1.1.

8.1.4 Detta är en direkt konsekvens av egenskaperna c och d hos vektorprodukten i sats 3.4.2.

8.1.16 $(-10,-7,6)$.