Svar till övningar på avsnitt 4.2

Linjär algebra

4.2.2a $ \left( \begin{array}{c|c|c|c} 2 & -3 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 0 &-1 \end{array} \right)$

4.2.2b $ \left( \begin{array}{c|c|c} 7 & 2 & -8 \\ 0 & -1 & 5 \\ 4 & 7 & -1 \end{array} \right)$

4.2.2c $ \left( \begin{array}{c|c} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 5 & -7 \end{array} \right)$

4.2.4a $ \left( \begin{array}{c|c} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$

4.2.4c $ \left( \begin{array}{c|c|c} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & 0\\0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

4.2.6b $ \left( \begin{array}{c} 3 \\ 13 \end{array} \right)$

4.2.6c $ \left( \begin{array}{c} -2x_1+x_2+4x_3 \\ 3x_1+5x_2+7x_3 \\ 6x_1-x_3 \end{array} \right)$

4.2.18a Bestäm standardmatrisen för sammansättningen $S$=spegling i $yz$-planet följd av $P$=ortogonal projektion på $xz$-planet.

Vi börjar med att bestämma matriser för de båda ingående avbildningarna $S$ och $T$. Vid spegling i $yz$-planet är $y$ och $z$ koordinaterna oförändrade medan $x$-koordinaten byter tecken. Detta åstadkoms av matrisen

$A=\left( \begin{array}{c|c|c} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Vid ortogonal projektion på $xz$-planet är $x$- och $z$-koordinaterna oförändrade, medan $y$-koordinaten omvandlas till noll, varför matrisen för $P$ är

$B=\left( \begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

För sammansättningen får vi då matrisen

$BA=\left( \begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c|c|c} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c|c|c} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$