Dag 15
Linjär algebra
[redigera] 5.5 Rad-, kolumn- och nollrum
En matris kan tolkas på flera sätt: ett skrivsätt för linjära ekvationssystem, beskrivning av en linjär avbildning mellan vektorrum, beskrivning av ett koordinatbyte mm. Vi kan även se en matris av storlek $m\times n$ som ett skrivsätt för en mängd vektorer i ett vektorrum genom att betrakta rader som vektorer ($m$ vektorer i $R^n$) eller kolumner som vektorer ($n$ vektorer i $R^m$). I det första fallet får man ett delrum till $R^n$. Skulle radvektorerna råka vara linjärt oberoende är delrummet $m$-dimensionellt. Det och mycket annat trevligt kommer man fram till, och därmed ytterligare egenskaper hos linjära ekvationssystem, linjära avbildningar etc. Nollrumet till en matris $A$ kan man definiera som lösningsrummet till ekvationssystemet $A\bf x=0$, såsom i definitionen i början av avsnittet, men också som delrummet av de vektorer som avbildas på nollvektorn, om man betraktar $A$ som en avbildningsmatris. Avsnittet blir ganska lättläst, om man har tillgodogjort sig tidigare material på ett mer konceptuellt sätt, snarare än behärskar rena räknetefärdigheten. I annat fall, kan det hända att innehållet lätt ses som träning på nya onödiga räknetekniker.
Gör följande övningar i första hand:
- 5.5.3abcd, 5.5.5abc, 5.5.6bcd [ svar till 5.5.6bcd ]
Har du tid över kan du göra även:
- 5.5.9, 5.5.11
[redigera] 5.6 Rang och nollrummets dimension
Läs och begrunda texten tom sats 5.6.3. Satsens resultat tolkas på följande sätt. Låt $A_{m\times n}$ vara en avbildningsmatris $R^n\rightarrow R^m$. Då är $rang(A)$ dimensionen av delvektorrummet i $R^m$ bestående av alla avbildade vektorer och $dimnoll(A)$ dimensionen av delrummet i $R^n$ bestående av alla vektorer som avbildas på ${\bf 0}\in R^m$. Då är $rang(A)+dimnoll(A)=n$ (sats 5.6.3). Resultatet kallas dimensionssatsen.
Exempel. Låt $A: R^3\rightarrow R^3$ vara projektion på ett plan genom origo. Eftersom de avbildade vektorerna bildar ett plan, som är tvådimensionellt, så måste nollrummet vara $(3-2=)1$-dimensionellt, vilket helt stämmer överens med vår geometriska bild. Det som avbildas på $\bf 0$ är linjen, som är vinkelrät mot planet, och en linje är 1-dimensionell.
Vidare följer ett antal resultat om ekvivalenta egenskaper hos linjära ekvationssystem. Sats 5.6.9 är en sammanfattning av ekvivalenta påståenden som gäller för ett linjär ekvationssystem, som vi har samlat på oss sedan moment 2 (och sats 1.5.3, vill jag minnas).
Gör följande övningar i första hand:
- 5.6.2ac [ svar till 5.6.2ac ], 5.6.3ad, 5.5.5
Har du tid över kan du göra även:
- 5.6.9, 5.6.11
