Dag 22

Linjär algebra

[redigera] 8.4 Avbildningsmatriser

Vi skall i detta avsnitt se hur varje linjära avbildning mellan två ändligdimensionella vektorrum $V$ och $W$ kan beskrivas med matris. Tricket är att fixera en bas i vardera vektorrummet så att man sedan kan arbeta med koordinatvektorer istället för de ursprungliga vektorerna. Då kan man ta fram en matris som sådan att om $T: V \rightarrow W$ är en linjär avbildning så fås koordinatvektorn för $T(v)$ genom att mulitplicera koordinatvektorn för $v$ med matrisen. Observera att hur matrisen ser ut beror på vilka baser man har valt. Detta är mycket viktigt att hålla i minnet då man arbetar med linjära avbildningar. Mer om det senare, först skall vi ta reda på hur matrisen ser ut.

Låt $T: V \rightarrow W$ vara en linjär avbildning, $B$ en bas i $V$ och $B'$ en bas i $W$. Om $[v]_B$ betecknar koordinatvektorn för $v$ i basen $B$ (repetera övre halvan av sidan 253 om du är det minsta osäker på vad som menas med detta!) så söker vi en matris $A$ sådan att

$A[v]_B=[T(v)]_{B'}$

Om vi stoppar basvektorerna nummer $k$ från basen $B$ i detta samband ser vi att kolumn $k$ i $A$ måste bestå av $B'$-koordinaterna för bilden av denna basvektor. Du kan läsa en utförligare version av detta viktiga resonemang i boken. Matrisen $A$ betcknas i boken med $[T]_{B',B}$, eftersom man måste ange vilka baser man arbetar med för att matrisen skall ge en beskrivning av avbildningen $T$. Observara att om $B$ och $B'$ är standardbaserna i $V=R^n$ respektive $W=R^m$ så är $[T]_{B',B}$ ingenting annat än standardmatrisen för $T$.

Läs nu igenom avsnittet i kursboken. Det är viktigt att du förstått det ordentligt och lyckats lösa övningsuppgifterna innan du går vidare till nästa avsnitt som bygger vidare på detta.

Gör följande övningar i första hand:

• 8.4.1, 8.4.5, 8.4.9

Har du tid över kan du göra även:

• 8.4.16

Svar till sista uppgiften finner du här.

[redigera] 8.5 Similaritet

Innan du tar itu med detta avsnitt kan det vara bra att repetera basbyten (avsnitt 6.5).

Som vi sett tidigare i kapitel 8 så kan vi om vi fixerar en bas i ett vektorrum $V$ sedan beskriva alla linjära avbildningar från $V$ till $V$ med matriser. Hur matrisen för en viss linjär transformation ser ut beror på valet av bas, så vissa baser kan ge enklare matriser än andra för en given avbildning. (Se exemplet på sidan 430.) Frågan är då vilka val av baser som gör avbildningsmatrisen så enkel som möjligt. För att svara på det behöver man först utreda hur matriserna i två olika baser är relaterade till varandra. I avsnitt 6.5 lärde vi oss att för varje vektor $u$ är $[u]_B=P[u]_{B'}$ där $P$ är den matris vars kolumner är koordinaterna för vektorerna i $B'$ i basen $B$. (Sätt $u$ lika med någon vektor i $B'$ för att övertyga dig om detta.) Kombinerar vi detta med att $[T(v)]_{B'}=[T]_{B'}[v]_{B'}$ och $[T(v)]_{B}=[T]_{B}[v]_{B}$ (från definitionen av $[T]_{B'}$ respektive $[T]_B$) så får vi

$P[T]_{B'}[v]_{B'}=P[T(v)]_{B'}=[T(v)]_B=[T]_B[v]_B=[T]_BP[v]_{B'}$ $\Leftrightarrow [T]_{B'}=P^{-1}[T]_BP$

Ekvivalensen beror på att det då det övre sambandet gäller för alla vektorer $[v]_{B'}$ så måste matriserna vara lika samt att då $P$ är basbytesmatris är $P$ garanterat inverterbar så vi kan multiplicera sambandet med $P^{-1}$ från vänster.

Man säger att matriserna $[T]_{B'}$ och $[T]_B$ är similära. (Se definitionen på sidan 433.) Matriser som är similära kan man alltså tänka på som matriser som beskriver en och samma linjära avbildning fast i olika val av bas. På grund av detta har similära matriser ett antal viktiga egenskaper gemensamma. Några av dessa listas på sidan 434. Detta är alltså egenskaper som hör till avbildningen i sig och är oberoende av valet av bas. Man kan därför tala om en linjär avbildnings egenvärden, spår, egenrum etcetera. Resten av avsnitt 8.5 består av några viktiga exempel som det lönar sig att studera nogrant. Gör det så är du sedan väl rustad för att lösa uppgifter.

Gör följande övningar i första hand:

• 8.5.5, 8.5.7 och 8.4.12a

Svar finner du i facit och här.