Dag 11

Envariabelanalys

[redigera] RIEMANNSUMMOR OCH INTEGRALER

Nu ger vi oss in i ett nytt område, nämligen integration - ett område som inte ens våra folkvalda behärskar till fullo. Det är centralt i matematiken att man preciserar den exakta innebörden (den formella definitionen) av ett begrepp innan man börjar använda det, och vi kommer att göra detta för integraler idag. Integrering är den inversa operationen till derivering. Om F'(x)=f(x) så är F(x) den primitiva funktionen (antiderivatan) till funktionen f(x), och vi skriver F(x)=\int f(x)dx. Integraler och derivator är intimt förknippade genom det som kallas för Integralkalkylens Huvudsats - om F'(x)=f(x) för x\in[a,b] så gäller \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).

Vi inleder vårt studium med att betrakta ett område under en graf och försöka beräkna dess area genom att dela upp området i "oändligt många oändligt små" områden vars areor vi sedan summerar, och vi erhåller hela arean av det betraktade området under grafen som ett gränsvärde där antalet delområden går mot oändligheten (ordet "integral" betyder "helhet"). Denna metod behärskades redan under antiken, fast en stringent behandling av integralbegreppet gavs först på 1800-talet av Riemann.

Ett annat område i matematiken som rönt stort intresse bland våra folkvalda, men som vi inte kommer att ta upp här, är algebraisk topologi. Här definieras nämligen genusbegreppet. Genus är populärt uttryckt antalet hål på en yta, exempelvis har en kaffekopp genus 1 (pga handtaget). Det är dock inte säkert att det är denna (korrekta) definition genusvetarna använder sig av. Efter avslutad utbildning i matematik borde man med lätthet kunna få jobb som konsult på Regeringskansliet.

5.1-5.2 Här diskuteras areabegreppet och beräkning av areor genom gränsövergång. Man bör genomföra någon sådan beräkning för att uppskatta effektiviteten i den metod vi senare beräknar integraler med. Avsnitt 5.1 är en introduktion till användningen av summatecknet \sum. Om du redan känner till detta kan du hoppa över 5.1. Läs igenom avsnitt 5.2 fram tom exempel 2.

5.3 Bestämda integraler införs genom över- och undersummor. Idén är att då indelningen blir finare skall (för integrerbara funktioner, se Def. 3) över- och undersummor båda ha samma gränsvärde, och vi erhåller då integralen av funktionen. Sats 2 visar att denna procedur fungerar för alla kontinuerliga funktioner. Läs exempel 2-4.

5.4 Här härleds diverse egenskaper hos den bestämda integralen (Sats 3) och Integralkalkylens medelvärdessats (Sats 4) kommer in i Integralkalkylens huvudsats i nästa avsnitt. Läs igenom hela detta avsnitt.

5.5 Sats 5, Integralkalkylens huvudsats, är det som gör integralen till ett användbart verktyg genom kopplingen till differentialkalkylen. Satsen visar att varje kontinuerlig funktion har en primitiv funktion. Läs exempel 2, 4, 7 och 9.

Gör följande övningsuppgifter:

• 5.2: 3 7.
• 5.3: 1 7.
• 5.4: 3 7 19 27.
• 5.5: 5 9 13 17 23 39.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

• 5.2: 13.
• 5.3: 11 13 15 17.
• 5.4: 15 21 35.
• 5.5: 19 33 45 51 53.