Dag 6
Envariabelanalys
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 18 maj 2007 kl. 08.58 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (18 maj 2007 kl. 10.00) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (5 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 3: | Rad 3: | ||
| Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna. | Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna. | ||
| - | * '''3.1''' I detta avsnitt behandlas inverterbara (one-to-one) funktioner. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Läs även igenom det sista avsnittet om inversens derivata och exempel 1-4. | + | * '''3.1''' Inverterbara (one-to-one) funktioner. Definition 1 innebär just att funktionen är one-to-one (och därmed inverterbar) om det till varje x-värde finns precis ett y-värde. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Läs även igenom det sista avsnittet om inversens derivata och exempel 1-4. |
| - | * '''3.2''' Ingår i inledande kurs. Repetera gärna avsnittet. | + | * '''3.2''' Innehållet i detta avsnitt bör dig vara välbekant: potenslagarna och logaritmlagarna. Repetera gärna! |
| - | * '''3.3''' Här införs funktionen ln x som area av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x som antar värdet 0 för x = 1. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen införs som invers till ln x och exponentiallagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Man definierar talet e genom e = exp 1 och visar att exp x = ex. Sambandet (def. 7, s. 189) är viktig. Någon gång kan du ha användning av logaritmisk derivering. | + | * '''3.3''' Talet e kallas de naturliga logaritmernas bas. Funktionen ln x införs här som arean av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen $y=e^x$ införs som invers till ln x och potenslagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Läs exempel 1-3 och 6-8. |
| - | Läs exempel 1-3, 6-8. | + | |
| + | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| + | |||
| + | * 3.1: 3 5 9 13. | ||
| + | * 3.2: 7 15. | ||
| + | * 3.3: 3 9 13 23 31. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: | ||
| + | |||
| + | * 3.1: 11 19 25 29 35. | ||
| + | * 3.2: 27 29 30. | ||
| + | * 3.3: 17 35 43. | ||
Nuvarande version
[redigera] INVERSA FUNKTIONER. EXPONENTIAL- OCH LOGARITMFUNKTIONER
Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för funktion måste den dock vara entydig (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna.
- 3.1 Inverterbara (one-to-one) funktioner. Definition 1 innebär just att funktionen är one-to-one (och därmed inverterbar) om det till varje x-värde finns precis ett y-värde. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Läs även igenom det sista avsnittet om inversens derivata och exempel 1-4.
- 3.2 Innehållet i detta avsnitt bör dig vara välbekant: potenslagarna och logaritmlagarna. Repetera gärna!
- 3.3 Talet e kallas de naturliga logaritmernas bas. Funktionen ln x införs här som arean av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen $y=e^x$ införs som invers till ln x och potenslagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Läs exempel 1-3 och 6-8.
Gör följande övningsuppgifter:
- 3.1: 3 5 9 13.
- 3.2: 7 15.
- 3.3: 3 9 13 23 31.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 3.1: 11 19 25 29 35.
- 3.2: 27 29 30.
- 3.3: 17 35 43.
