Dag 12
Envariabelanalys
| Versionen från 21 maj 2007 kl. 08.51 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 21 maj 2007 kl. 08.52 (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | Nu ger vi oss in i ett nytt område, nämligen integration, ett område som inte ens våra folkvalda behärskar till fullo. Integrering är den inversa operationen till derivering. Om $F'(x)=f(x)$ så är $F(x)$ den primitiva funktionen (det som i läroboken benämns antiderivatan) till funktionen $f(x)$. | + | Nu ger vi oss in i ett nytt område, nämligen integration, ett område som inte ens våra folkvalda behärskar till fullo. Integrering är den inversa operationen till derivering. Om $F'(x)=f(x)$ så är $F(x)$ den primitiva funktionen (det som i läroboken benämns antiderivatan) till funktionen $f(x)$, och vi skriver $F(x)=\int f(x)dx$. |
| Det går tyvärr inte alltid astt finna den primitiva funktionen (det som i läroboken benämns antiderivatan) till en funktion, ett exempel är funktionen $e^{x^2}$, som inte är derivatan till någon ändlig kombination av elementära funktioner. | Det går tyvärr inte alltid astt finna den primitiva funktionen (det som i läroboken benämns antiderivatan) till en funktion, ett exempel är funktionen $e^{x^2}$, som inte är derivatan till någon ändlig kombination av elementära funktioner. | ||
Versionen från 21 maj 2007 kl. 08.52
Nu ger vi oss in i ett nytt område, nämligen integration, ett område som inte ens våra folkvalda behärskar till fullo. Integrering är den inversa operationen till derivering. Om $F'(x)=f(x)$ så är $F(x)$ den primitiva funktionen (det som i läroboken benämns antiderivatan) till funktionen $f(x)$, och vi skriver $F(x)=\int f(x)dx$.
Det går tyvärr inte alltid astt finna den primitiva funktionen (det som i läroboken benämns antiderivatan) till en funktion, ett exempel är funktionen $e^{x^2}$, som inte är derivatan till någon ändlig kombination av elementära funktioner.
5.1-5.2 Här diskuteras areabegreppet och beräkning av areor genom gränsövergång. Man bör genomföra någon sådan beräkning för att till fullo uppskatta effektiviteten i den metod vi senare beräknar integraler med. Läs exempel 1-2 i 5.2.
5.3 Bestämda integraler införs genom över- och undersummor. Idén är att då indelningen blir finare skall, för "integrerbara" (def. 3) funktioner, dess över- och undersummor båda ha samma gränsvärde, integralen av funktionen. Sats 2, s. 316, visar att denna procedur fungerar för kontinuerliga funktioner. Läs exempel 2-4.
5.4 Här härleds diverse egenskaper till den bestämda integralen (Sats 3, s. 317-318). Integralkalkylens medelvärdessats (Sats 4, s. 320) kommer in i den oumbärliga Integralkalkylens fundamentalsats i nästa avsnitt. Läs exempel 1, 3.
5.5 Sats 5, Integralens fundamentalsats, är vad gör integralen till ett användbart verktyg, genom kopplingen till differentialkalkylen. Satsen visar att varje kontinuerlig funktion har en primitiv funktion. Läs exempel 2, 4, 7, 9.
