Dag 8
Envariabelanalys
| Versionen från 18 maj 2007 kl. 10.36 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (22 maj 2007 kl. 13.58) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (18 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| ==GLOBAL OCH LOKAL EXTREMISM== | ==GLOBAL OCH LOKAL EXTREMISM== | ||
| - | ==och den gyllene medelvärdessatsen== | + | ==samt den gyllene MEDELVÄRDESSATSEN== |
| - | 2.6 Medelvärdessatsen (Sats 11, s. 131) är mycket viktig. Satsens geometriska betydelse framgår av figur 2.25 (s. 131). Figur 2.26 på samma sida visar att man inte kan ändra på någon av satsens förutsättningar. | + | |
| - | Med hjälp av medelvärdessatsen kan man dra slutsatser om en funktions avtagande/växande (dessa begrepp införs i def. 5, s. 133) om man vet derivatans tecken i ett intervall. Det viktigaste ur tillämpningssynpunkt är just detta, formulerat i Sats 12, s. 134. | + | |
| - | Det är lätt att övertyga sig själv om att medelvärdessatsen gäller i det fall då funktionen antar lika värden i intervallets ändpunkter (Rolles sats, s. 134). Notera att man behöver här satsen om största och mista värde (max/min Theorem 8, s. 80). Från Rolles sats får man medelvärdessatsen genom ett slags variabelbyte; se fig. 2.30, s. 136. | + | |
| - | 4.2 Extremvärden: def. 1 (globala), def. 2 (lokala). Kritiska punkter, singulära punkter. Sats 1, s. 234 är max/min satsen från kap. 1 (s. 80). Sats 2 (s. 235) och Sats 3 (s. 236) är mycket viktiga. De ger en metod för att finna största och minsta värden till en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall. | + | I vår iver att plöja vidare i matematikens snårskog hoppade vi innan över avsnitt 2.6. Det finns dock inga genvägar till sann insikt, och vi måste därför bläddra tillbaka några sidor för att lära oss ett klassiskt resultat som beundrats och hyllats av det församlade matematiska etablissemanget i hundratals år. En förståelse för matematiken i sig måste alltid föregå förståelsen av en matematiker som person, om ni nu skulle råka känna någon sådan. Vi går också igenom avsnitt 4.2 idag. Som student kan du exempelvis tänkas vara intresserad av vilka proportioner en cylinderformad ölburk bör ha för att rymma en given volym öl så att materialåtgången till burken blir så liten som möjligt (så länge burkens form inte påverkar panten naturligtvis). |
| - | Läs exempel 1, 2, 3, 5. | + | Detta är ett sk extremvärdesproblem (där vi vill minimera burkens area). |
| + | |||
| + | '''2.6''' Medelvärdessatsen (Sats 11) är mycket viktig. Satsens geometriska betydelse framgår av figur 2.25. Figur 2.26 på samma sida visar att man inte kan ändra på någon av satsens förutsättningar. Med hjälp av medelvärdessatsen kan man dra slutsatser om en funktions avtagande/växande om man vet derivatans tecken i ett intervall - detta faktum är det viktigaste ur tillämpningssynpunkt - se Sats 12. Rolles sats är ett specialfall av medelvärdessatsen och man kan använda den för att bevisa medelvärdessatsen, se figur 2.30. Läs hela detta avsnitt (Sats 16 ej obligatorisk). | ||
| + | |||
| + | '''4.2''' Här behandlas globala och lokala extremvärden, kritiska punkter samt singulära punkter. Dessa begreppen definieras i Definition 1 och 2 samt direkt efter Definition 2. Sats 1, 2 och 3 är viktiga. Sats 3 ger en metod för att finna största och minsta värden till en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall. Läs exempel 1, 2, 3 och 5. | ||
| + | |||
| + | Övninsuppgifter: | ||
| + | |||
| + | * 2.6: 1 3 5 9 11. | ||
| + | * 4.2: 3 5 9 13 19 27. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: | ||
| + | |||
| + | * 2.6: 15 17 19. | ||
| + | * 4.2: 31 35 41 43. | ||
Nuvarande version
[redigera] GLOBAL OCH LOKAL EXTREMISM
[redigera] samt den gyllene MEDELVÄRDESSATSEN
I vår iver att plöja vidare i matematikens snårskog hoppade vi innan över avsnitt 2.6. Det finns dock inga genvägar till sann insikt, och vi måste därför bläddra tillbaka några sidor för att lära oss ett klassiskt resultat som beundrats och hyllats av det församlade matematiska etablissemanget i hundratals år. En förståelse för matematiken i sig måste alltid föregå förståelsen av en matematiker som person, om ni nu skulle råka känna någon sådan. Vi går också igenom avsnitt 4.2 idag. Som student kan du exempelvis tänkas vara intresserad av vilka proportioner en cylinderformad ölburk bör ha för att rymma en given volym öl så att materialåtgången till burken blir så liten som möjligt (så länge burkens form inte påverkar panten naturligtvis). Detta är ett sk extremvärdesproblem (där vi vill minimera burkens area).
2.6 Medelvärdessatsen (Sats 11) är mycket viktig. Satsens geometriska betydelse framgår av figur 2.25. Figur 2.26 på samma sida visar att man inte kan ändra på någon av satsens förutsättningar. Med hjälp av medelvärdessatsen kan man dra slutsatser om en funktions avtagande/växande om man vet derivatans tecken i ett intervall - detta faktum är det viktigaste ur tillämpningssynpunkt - se Sats 12. Rolles sats är ett specialfall av medelvärdessatsen och man kan använda den för att bevisa medelvärdessatsen, se figur 2.30. Läs hela detta avsnitt (Sats 16 ej obligatorisk).
4.2 Här behandlas globala och lokala extremvärden, kritiska punkter samt singulära punkter. Dessa begreppen definieras i Definition 1 och 2 samt direkt efter Definition 2. Sats 1, 2 och 3 är viktiga. Sats 3 ger en metod för att finna största och minsta värden till en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall. Läs exempel 1, 2, 3 och 5.
Övninsuppgifter:
- 2.6: 1 3 5 9 11.
- 4.2: 3 5 9 13 19 27.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 2.6: 15 17 19.
- 4.2: 31 35 41 43.
