Dag 11
Envariabelanalys
| Versionen från 18 maj 2007 kl. 21.52 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (22 maj 2007 kl. 14.12) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (10 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | ==EXTREMVÄRDESPROBLEM OCH LINJÄRA APPROXIMATIONER== | + | ==RIEMANNSUMMOR OCH INTEGRALER== |
| - | Idag kommer vi bland annat att lösa olika praktiska problem av min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som exempel 4 i avsnitt 4.5. Det finns också intressanta tillämpningar inom andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget problem och lös! | + | Nu ger vi oss in i ett nytt område, nämligen integration - ett område som |
| + | inte ens våra folkvalda behärskar till fullo. Det är centralt i | ||
| + | matematiken att man preciserar den exakta innebörden (den formella | ||
| + | definitionen) av ett begrepp innan man börjar använda det, och vi kommer | ||
| + | att göra detta för integraler idag. Integrering är den inversa | ||
| + | operationen till derivering. Om $F'(x)=f(x)$ så är $F(x)$ den | ||
| + | ''primitiva funktionen'' (antiderivatan) till funktionen $f(x)$, | ||
| + | och vi skriver $F(x)=\int f(x)dx$. Integraler och derivator är intimt | ||
| + | förknippade genom det som kallas för ''Integralkalkylens Huvudsats'' - om $F'(x)=f(x)$ för $x\in[a,b]$ så gäller | ||
| + | $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. | ||
| - | Tangenten till en graf $f$ i en given punkt $a$ är den bästa $\textit{räta linje}$ som beskriver $f$:s uppförande i $a$. Där har tangentlinjen som bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och kallas för $\textit{lineariseringen}$ av $f$ kring $a$. Denna utgör en $\textit{linjär approximation}$ av $f$ för x-värden nära $a$. Vi har alltså approximerat $f$ med ett förstagradspolynom, och denna metod, som tas upp i 4.7, kan användas när f(a) och f'(a) är kända. Man kan erhålla ännu bättre approximationer av $f(x)$ för $x$ nära $a$ genom att använda polynom av högre grad vars (högre ordningens) derivator sammanfaller med $f4:s derivator i punkten $a$ (detta förutsätter givetvis att de existerar). | + | Vi inleder vårt studium med att betrakta ett område under en graf och |
| - | Dessa (optimala) polynom av högre grad som används för att approximera $f$ nära en given punkt kallas Taylor polynom och ju högre gradtal man väljer desto bättre blir approximationen. Mer om detta i ett senare avsnitt. För allmänbildningens skull bör man också känna till att man kan approximera funktioner med trigonometriska funktioner - sk Fourieranalys. | + | försöka beräkna dess area genom att dela upp området i "oändligt många |
| + | oändligt små" områden vars areor vi sedan summerar, och vi erhåller hela | ||
| + | arean av det betraktade området under grafen som ett ''gränsvärde'' | ||
| + | där antalet delområden går mot oändligheten (ordet "integral" betyder | ||
| + | "helhet"). Denna metod behärskades redan under antiken, fast en stringent | ||
| + | behandling av integralbegreppet gavs först på 1800-talet av Riemann. | ||
| - | '''4.5''' I avsnittet behandlas "ostrukturerade" max/min-problem där man själv måste formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom exempel 1-5. | + | Ett annat område i matematiken som rönt stort intresse bland våra |
| + | folkvalda, men som vi inte kommer att ta upp här, är algebraisk topologi. | ||
| + | Här definieras nämligen genusbegreppet. Genus är populärt uttryckt antalet | ||
| + | hål på en yta, exempelvis har en kaffekopp genus 1 (pga handtaget). Det är | ||
| + | dock inte säkert att det är denna (korrekta) definition genusvetarna | ||
| + | använder sig av. Efter avslutad utbildning i matematik borde man med | ||
| + | lätthet kunna få jobb som konsult på Regeringskansliet. | ||
| - | '''4.7''' Approximationer används då det är svårt att få fram det $\textit{exakta}$ funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en viss punkt finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten. Läs igenom hela detta avsnitt. | + | '''5.1-5.2''' Här diskuteras areabegreppet och beräkning av areor genom |
| + | gränsövergång. Man bör genomföra någon sådan beräkning för att uppskatta | ||
| + | effektiviteten i den metod vi senare beräknar integraler med. | ||
| + | Avsnitt 5.1 är en introduktion till användningen av summatecknet $\sum$. Om du | ||
| + | redan känner till detta kan du hoppa över 5.1. | ||
| + | Läs igenom avsnitt 5.2 fram tom exempel 2. | ||
| - | Övninsuppgifter: | + | '''5.3''' Bestämda integraler införs genom över- och undersummor. Idén är |
| + | att då indelningen blir finare skall (för integrerbara funktioner, se Def. | ||
| + | 3) över- och undersummor båda ha samma gränsvärde, och vi erhåller då | ||
| + | integralen av funktionen. Sats 2 visar att denna procedur fungerar för | ||
| + | alla kontinuerliga funktioner. Läs exempel 2-4. | ||
| - | * 4.5: 1 3 7 21. | + | '''5.4''' Här härleds diverse egenskaper hos den bestämda integralen |
| - | * 4.7: 1 3 5 7 15. | + | (Sats 3) och Integralkalkylens medelvärdessats (Sats 4) kommer in i |
| + | Integralkalkylens huvudsats i nästa avsnitt. Läs igenom hela detta | ||
| + | avsnitt. | ||
| - | Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: | + | '''5.5''' Sats 5, Integralkalkylens huvudsats, är det som gör integralen |
| + | till ett användbart verktyg genom kopplingen till differentialkalkylen. | ||
| + | Satsen visar att varje kontinuerlig funktion har en primitiv funktion. | ||
| + | Läs exempel 2, 4, 7 och 9. | ||
| - | * 4.5: 11 19 37 40 41. | + | Gör följande övningsuppgifter: |
| - | * 4.7: 11 13 17 31. | + | * 5.2: 3 7. |
| + | * 5.3: 1 7. | ||
| + | * 5.4: 3 7 19 27. | ||
| + | * 5.5: 5 9 13 17 23 39. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du göra följande | ||
| + | övningsuppgifter som är snäppet svårare: | ||
| + | * 5.2: 13. | ||
| + | * 5.3: 11 13 15 17. | ||
| + | * 5.4: 15 21 35. | ||
| + | * 5.5: 19 33 45 51 53. | ||
Nuvarande version
[redigera] RIEMANNSUMMOR OCH INTEGRALER
Nu ger vi oss in i ett nytt område, nämligen integration - ett område som inte ens våra folkvalda behärskar till fullo. Det är centralt i matematiken att man preciserar den exakta innebörden (den formella definitionen) av ett begrepp innan man börjar använda det, och vi kommer att göra detta för integraler idag. Integrering är den inversa operationen till derivering. Om $F'(x)=f(x)$ så är $F(x)$ den primitiva funktionen (antiderivatan) till funktionen $f(x)$, och vi skriver $F(x)=\int f(x)dx$. Integraler och derivator är intimt förknippade genom det som kallas för Integralkalkylens Huvudsats - om $F'(x)=f(x)$ för $x\in[a,b]$ så gäller $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Vi inleder vårt studium med att betrakta ett område under en graf och försöka beräkna dess area genom att dela upp området i "oändligt många oändligt små" områden vars areor vi sedan summerar, och vi erhåller hela arean av det betraktade området under grafen som ett gränsvärde där antalet delområden går mot oändligheten (ordet "integral" betyder "helhet"). Denna metod behärskades redan under antiken, fast en stringent behandling av integralbegreppet gavs först på 1800-talet av Riemann.
Ett annat område i matematiken som rönt stort intresse bland våra folkvalda, men som vi inte kommer att ta upp här, är algebraisk topologi. Här definieras nämligen genusbegreppet. Genus är populärt uttryckt antalet hål på en yta, exempelvis har en kaffekopp genus 1 (pga handtaget). Det är dock inte säkert att det är denna (korrekta) definition genusvetarna använder sig av. Efter avslutad utbildning i matematik borde man med lätthet kunna få jobb som konsult på Regeringskansliet.
5.1-5.2 Här diskuteras areabegreppet och beräkning av areor genom gränsövergång. Man bör genomföra någon sådan beräkning för att uppskatta effektiviteten i den metod vi senare beräknar integraler med. Avsnitt 5.1 är en introduktion till användningen av summatecknet $\sum$. Om du redan känner till detta kan du hoppa över 5.1. Läs igenom avsnitt 5.2 fram tom exempel 2.
5.3 Bestämda integraler införs genom över- och undersummor. Idén är att då indelningen blir finare skall (för integrerbara funktioner, se Def. 3) över- och undersummor båda ha samma gränsvärde, och vi erhåller då integralen av funktionen. Sats 2 visar att denna procedur fungerar för alla kontinuerliga funktioner. Läs exempel 2-4.
5.4 Här härleds diverse egenskaper hos den bestämda integralen (Sats 3) och Integralkalkylens medelvärdessats (Sats 4) kommer in i Integralkalkylens huvudsats i nästa avsnitt. Läs igenom hela detta avsnitt.
5.5 Sats 5, Integralkalkylens huvudsats, är det som gör integralen till ett användbart verktyg genom kopplingen till differentialkalkylen. Satsen visar att varje kontinuerlig funktion har en primitiv funktion. Läs exempel 2, 4, 7 och 9.
Gör följande övningsuppgifter:
- 5.2: 3 7.
- 5.3: 1 7.
- 5.4: 3 7 19 27.
- 5.5: 5 9 13 17 23 39.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 5.2: 13.
- 5.3: 11 13 15 17.
- 5.4: 15 21 35.
- 5.5: 19 33 45 51 53.
