Dag 12
Envariabelanalys
| Versionen från 21 maj 2007 kl. 10.04 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (22 maj 2007 kl. 14.13) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (6 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | Nu ger vi oss in i ett nytt område, nämligen integration - ett område som inte ens våra folkvalda behärskar till fullo. Det är centralt i matematiken att man preciserar den exakta innebörden (den formella definitionen) av ett begrepp innan man börjar använda det, och vi kommer att göra detta för integraler idag. Integrering är den inversa operationen till derivering. Om $F'(x)=f(x)$ så är $F(x)$ den $\textit{primitiva funktionen}$ (antiderivatan) till funktionen $f(x)$, och vi skriver $F(x)=\int f(x)dx$. Integraler och derivator är intimt förknippade genom det som kallas för $\textit{Integralkalkylens Huvudsats}$ - om $F'(x)=f(x)$ för $x\in[a,b]$ så gäller $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. | + | ==VARIABELSUBSTITUTION OCH AREABERÄKNINGAR== |
| - | Vi inleder vårt studium med att betrakta ett område under en graf och försöka beräkna dess area genom att dela upp området i "oändligt många oändligt små" områden vars areor vi sedan summerar, och vi erhåller hela arean av det betraktade området under grafen som ett $\textit{gränsvärde}$ där antalet delområden går mot oändligheten (ordet "integral" betyder "helhet"). Denna metod behärskades redan under antiken, fast en stringent behandling av integralbegreppet gavs först på 1800-talet av Riemann. | + | I dag tittar vi på olika integrationstekniker. |
| + | Sökandet efter den primitiva funktionen till en viss funktion kan ibland | ||
| + | underlättas betydligt genom en lämplig variabelsubstitution. Det finns | ||
| + | dock funktioner som saknar en elementär primitiv funktion, dvs den | ||
| + | primitiva funktionen kan inte uttryckas med hjälp av de fyra räknesätten | ||
| + | och en sammansättning av ett ändligt antal elementära funktioner, till | ||
| + | exempel funktionen $e^{-x^2}$, som är mycket viktig inom | ||
| + | sannolikhetsläran. Här finns det ingen lämplig substitution som fungerar, | ||
| + | utan man måste ta till numeriska metoder. Minns den store von Goethes ord: | ||
| + | $\textit{"Vår Herre har skapat nötterna,}$ | ||
| + | $\textit{men han har inte knäckt dem."}$ | ||
| - | Ett annat område i matematiken som rönt stort intresse bland våra folkvalda är algebraisk topologi. Här definieras nämligen genusbegreppet. Genus är populärt uttryckt antalet hål på en yta, exempelvis har en kaffekopp genus 1 (pga handtaget). Det är dock inte säkert att det är denna (korrekta) definition genusvetarna använder sig av. Efter avslutad utbildning i matematik borde man med lätthet kunna få jobb som konsult på Regeringskansliet. | ||
| - | '''5.1-5.2''' Här diskuteras areabegreppet och beräkning av areor genom gränsövergång. Man bör genomföra någon sådan beräkning för att uppskatta effektiviteten i den metod vi senare beräknar integraler med. | + | '''5.6''' Variabelsubstitution i integraler (Sats 6) innebär att man |
| - | Avsnitt 5.1 är en introduktion till användningen av $\sum$-tecknet. Om du redan känner till detta kan du hoppa över 5.1. | + | använder kedjeregeln baklänges och är en viktig metod. I samband med |
| - | Läs igenom avsnitt 5.2 fram tom exempel 2. | + | integrering av trigonometriska funktioner bör man bla känna till formlerna |
| + | för dubbla vinkeln. Genom att göra tillräckligt många | ||
| + | övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken | ||
| + | substitution som är lämplig. Läs exempel 3-9. | ||
| - | '''5.3''' Bestämda integraler införs genom över- och undersummor. Idén är att då indelningen blir finare skall (för integrerbara funktioner, se Def. 3) över- och undersummor båda ha samma gränsvärde, och vi erhåller då integralen av funktionen. Sats 2 visar att denna procedur fungerar för alla kontinuerliga funktioner. Läs exempel 2-4. | + | '''5.7''' Här fördjupar vi oss i beräkningen av arean mellan två kurvor. |
| + | Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera | ||
| + | vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter | ||
| + | beräknas integralen på vanligt sätt. Läs exempel 1-4. | ||
| - | '''5.4''' Här härleds diverse egenskaper hos den bestämda integralen (Sats 3). Integralkalkylens medelvärdessats (Sats 4) kommer in i den oumbärliga Integralkalkylens fundamentalsats i nästa avsnitt. Läs Sats 3 och 4, | + | Gör följande övningsuppgifter: |
| - | + | ||
| - | exempel 1 och 3. | + | |
| - | '''5.5''' Sats 5, Integralens fundamentalsats, är vad gör integralen till ett användbart verktyg, genom kopplingen till differentialkalkylen. Satsen visar att varje kontinuerlig funktion har en primitiv funktion. | + | * 5.6: 1 3 5 7 9 19 21 23. |
| - | Läs exempel 2, 4, 7, 9. | + | * 5.7: 3 5 11 19. |
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är | ||
| + | snäppet svårare: | ||
| + | |||
| + | * 5.6: 11 17 45. | ||
| + | * 5.7: 25 27 29. | ||
| + | |||
| + | Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 5 under rubriken "Chapter Review" sid. 314-315. | ||
Nuvarande version
[redigera] VARIABELSUBSTITUTION OCH AREABERÄKNINGAR
I dag tittar vi på olika integrationstekniker. Sökandet efter den primitiva funktionen till en viss funktion kan ibland underlättas betydligt genom en lämplig variabelsubstitution. Det finns dock funktioner som saknar en elementär primitiv funktion, dvs den primitiva funktionen kan inte uttryckas med hjälp av de fyra räknesätten och en sammansättning av ett ändligt antal elementära funktioner, till exempel funktionen $e^{-x^2}$, som är mycket viktig inom sannolikhetsläran. Här finns det ingen lämplig substitution som fungerar, utan man måste ta till numeriska metoder. Minns den store von Goethes ord: $\textit{"Vår Herre har skapat nötterna,}$ $\textit{men han har inte knäckt dem."}$
5.6 Variabelsubstitution i integraler (Sats 6) innebär att man
använder kedjeregeln baklänges och är en viktig metod. I samband med
integrering av trigonometriska funktioner bör man bla känna till formlerna
för dubbla vinkeln. Genom att göra tillräckligt många
övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken
substitution som är lämplig. Läs exempel 3-9.
5.7 Här fördjupar vi oss i beräkningen av arean mellan två kurvor. Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter beräknas integralen på vanligt sätt. Läs exempel 1-4.
Gör följande övningsuppgifter:
- 5.6: 1 3 5 7 9 19 21 23.
- 5.7: 3 5 11 19.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 5.6: 11 17 45.
- 5.7: 25 27 29.
Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 5 under rubriken "Chapter Review" sid. 314-315.
