Dag 15
Envariabelanalys
| Versionen från 22 maj 2007 kl. 08.46 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (28 maj 2007 kl. 14.17) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (18 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | ==TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER== | + | ==VIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER (volym, area och båglängd)== |
| - | Buga er inför Adams allomfattande tekniska regelverk! Idag ska vi syssla med | + | Buga er inför Adams allomfattande tekniska regelverk! Idag ska vi syssla med rotationsvolymer, båglängder och rotationsareor. Det är dags att ta ytterligare ett steg på det mänskliga intellektets trappfunktion som ska leda oss till en slutlig förståelse av Universums storslagenhet och alla buktiga och roterande ytor som är inkapslade däri och vars area och volym det är vårt oundvikliga öde att beräkna. Hittills har vi använt integraler för att beräkna en plan ytas area. Nu ska vi visa hur man faktiskt också kan beräkna arean av ett område med buktig yta och annat roligt. Säkert har du tidigare stött på formeln för arean av ett klot: $A=4\pi R^2$, där $R$ betecknar klotets radie. Men varifrån kommer denna formel? Och varifrån kommer uttrycket $V=\frac{4\pi R^3}{3}$ för klotets volym? |
| - | rotationsvolymer, båglängder och rotationsareor. Hittills har vi använt integraler för att beräkna en plan ytas area. Nu ska vi visa hur man faktiskt också kan beräkna arean av ett område med buktig yta och annat roligt. Säkert har du tidigare stött på formeln för arean av ett klot: $A=4\pi R^2$, där $R$ betecknar klotets radie. Men varifrån kommer denna formel? Och varifrån kommer uttrycket $V=\frac{4\pi R^3}{3}$ för klotets volym? | + | |
| I dessa tillämpningar är det inte meningen att ni ska fixera er vid eller memorera vissa integraler, som ni sedan likt en disciplinerad och tuktad skolelev plockar fram ur huvudet inför tentan. Det gäller istället att förstå metoden - för olika sätt att dela upp den betraktade ytan eller kroppen kan leda till olika utseenden på integralen, även om resultatet efter beräkning av integralen naturligtvis blir detsamma. | I dessa tillämpningar är det inte meningen att ni ska fixera er vid eller memorera vissa integraler, som ni sedan likt en disciplinerad och tuktad skolelev plockar fram ur huvudet inför tentan. Det gäller istället att förstå metoden - för olika sätt att dela upp den betraktade ytan eller kroppen kan leda till olika utseenden på integralen, även om resultatet efter beräkning av integralen naturligtvis blir detsamma. | ||
| - | '''7.1''' Rotationsvolymer. Fig. 7.2-7.4 ger en föreställning om varför volymen kan uttryckas som integralen av area. Formeln längst ned på s. 408 behandlar rotation kring x-axeln. Cylindriska skal, s. 411, bygger på en annan idé. Fig. 7.9 visar varför formeln på s. 412 gäller. | + | '''7.1''' Rotationsvolymer. Fig. 7.2-7.4 ger en föreställning om varför volymen kan uttryckas som integralen av area. Därefter tittar vi på områden som uppstår via rotation av en yta kring en koordinataxel, under rubriken "''Solids of Revolution''" (där "revolution" betyder "rotation" - inte den typ av revolution ni tänkte viga ert liv åt om ni inte får ut er examen). Cylindriska skal bygger på en annan idé (se Fig. 7.9 och efterföljande formel i den blå rutan). En sammanfattning av olika fall av rotationsvolymer finns i slutet på detta avsnitt, men som sagt, det är bättre att man lär sig hur dessa formler härleds i stället för att lära sig dem utantill. Läs exempel 1-8. |
| - | En sammanfattning av olika fall av rotationsvolymer finns på s. 414. Men som sagt, det är bättre att man lär sig hur dessa formler härleds i stället för att lära sig dem utantill. | + | |
| - | Läs exempel 1-3, 6-7. | + | |
| - | '''7.2''' Allmänna volymer. Här behandlas andra volymsberäkningar, där metoden är att dela upp kroppen i "tunna skivor", vars area man kan bestämma, varefter man "summerar" dessa, dvs. integrerar arean. | + | '''7.2''' Allmänna volymer. Här behandlas andra volymberäkningar, tex där kroppen inte kan genereras genom en rotationsrörelse. Metoden (slicing) innebär att man delar upp kroppen i "tunna skivor" vilkas area man kan bestämma, varefter man summerar upp dessa, dvs. integrerar arean. Man kan så klart använda denna metod även för att bestämma volymen av en rotationskropp (ett klot exempelvis). Läs exempel 1. |
| - | Läs exempel 1. | + | |
| - | '''7.3''' Båglängder och rotationsareor. Båg- eller kurvlängd: formlerna mitt på s. 422. Figur 7.22 förklarar mekanismen. | + | '''7.3''' Båglängder och rotationsareor. Läs avsnittet under rubriken "''Arc Length''" och "''The Arc Length of the Graph of a Function''" samt tillhörande exempel 1-2. |
| - | Area av rotationsyta: se sammanställning på s. 426. (återigen rekommenderas att man lär sig härledningen av dessa formler.) | + | Läs därefter avsnittet under rubriken "Areas of Surfaces of Revolution" samt tillhörande exempel 5-6. |
| - | Läs exempel 1-2, 5-6. | + | |
| + | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| + | * 7.1: 1 3 5 7. | ||
| + | * 7.2: 1 3 5. | ||
| + | * 7.3: 1 5 9 15 21 25. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du göra följande | ||
| + | övningsuppgifter som är snäppet svårare: | ||
| + | * 7.1: 15 19 23. | ||
| + | * 7.2: 7 15. | ||
| + | * 7.3: 13 29 31 35. | ||
Nuvarande version
[redigera] VIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER (volym, area och båglängd)
Buga er inför Adams allomfattande tekniska regelverk! Idag ska vi syssla med rotationsvolymer, båglängder och rotationsareor. Det är dags att ta ytterligare ett steg på det mänskliga intellektets trappfunktion som ska leda oss till en slutlig förståelse av Universums storslagenhet och alla buktiga och roterande ytor som är inkapslade däri och vars area och volym det är vårt oundvikliga öde att beräkna. Hittills har vi använt integraler för att beräkna en plan ytas area. Nu ska vi visa hur man faktiskt också kan beräkna arean av ett område med buktig yta och annat roligt. Säkert har du tidigare stött på formeln för arean av ett klot: $A=4\pi R^2$, där $R$ betecknar klotets radie. Men varifrån kommer denna formel? Och varifrån kommer uttrycket $V=\frac{4\pi R^3}{3}$ för klotets volym?
I dessa tillämpningar är det inte meningen att ni ska fixera er vid eller memorera vissa integraler, som ni sedan likt en disciplinerad och tuktad skolelev plockar fram ur huvudet inför tentan. Det gäller istället att förstå metoden - för olika sätt att dela upp den betraktade ytan eller kroppen kan leda till olika utseenden på integralen, även om resultatet efter beräkning av integralen naturligtvis blir detsamma.
7.1 Rotationsvolymer. Fig. 7.2-7.4 ger en föreställning om varför volymen kan uttryckas som integralen av area. Därefter tittar vi på områden som uppstår via rotation av en yta kring en koordinataxel, under rubriken "Solids of Revolution" (där "revolution" betyder "rotation" - inte den typ av revolution ni tänkte viga ert liv åt om ni inte får ut er examen). Cylindriska skal bygger på en annan idé (se Fig. 7.9 och efterföljande formel i den blå rutan). En sammanfattning av olika fall av rotationsvolymer finns i slutet på detta avsnitt, men som sagt, det är bättre att man lär sig hur dessa formler härleds i stället för att lära sig dem utantill. Läs exempel 1-8.
7.2 Allmänna volymer. Här behandlas andra volymberäkningar, tex där kroppen inte kan genereras genom en rotationsrörelse. Metoden (slicing) innebär att man delar upp kroppen i "tunna skivor" vilkas area man kan bestämma, varefter man summerar upp dessa, dvs. integrerar arean. Man kan så klart använda denna metod även för att bestämma volymen av en rotationskropp (ett klot exempelvis). Läs exempel 1.
7.3 Båglängder och rotationsareor. Läs avsnittet under rubriken "Arc Length" och "The Arc Length of the Graph of a Function" samt tillhörande exempel 1-2. Läs därefter avsnittet under rubriken "Areas of Surfaces of Revolution" samt tillhörande exempel 5-6.
Gör följande övningsuppgifter:
- 7.1: 1 3 5 7.
- 7.2: 1 3 5.
- 7.3: 1 5 9 15 21 25.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 7.1: 15 19 23.
- 7.2: 7 15.
- 7.3: 13 29 31 35.
