Dag 13
Envariabelanalys
| Versionen från 22 maj 2007 kl. 13.45 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (30 maj 2007 kl. 13.24) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (2 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 3: | Rad 3: | ||
| Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna | Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna | ||
| integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas | integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas | ||
| - | $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två | + | ''partialintegration'' ("integration by parts"). Nämligen, om två |
| funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och | funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och | ||
| $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int | $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int | ||
| f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$. | f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$. | ||
| - | Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från | + | Denna regel för att ''integrera'' en produkt härleds lätt från |
| - | regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera | + | regeln för att ''derivera'' en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera |
| att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta | att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta | ||
| den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. | den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. | ||
| Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en | Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en | ||
| integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man | integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man | ||
| - | behöva partialintegrera upprepade gånger. | + | behöva partialintegrera upprepade gånger, liksom man ibland måste försöka integrera de olika delarna i sin personlighet ett upprepat antal gånger innan man unikt kan definiera sitt innersta väsen och beräkna dess tyngdpunkt för att ange det på sin deklarationsblankett. |
| '''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6. | '''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6. | ||
Nuvarande version
[redigera] PARTIELL INTEGRATION OCH INVERSA SUBSTITUTIONER
Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas partialintegration ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.
Denna regel för att integrera en produkt härleds lätt från regeln för att derivera en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger, liksom man ibland måste försöka integrera de olika delarna i sin personlighet ett upprepat antal gånger innan man unikt kan definiera sitt innersta väsen och beräkna dess tyngdpunkt för att ange det på sin deklarationsblankett.
6.1 Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.
6.2 Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$ substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution.
Gör följande övningsuppgifter:
- 6.1: 1 5 7 19 21.
- 6.2: 1 5 9 15 17.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 6.1: 15 27 31.
- 6.2: 27 31 33 35.
