Dag 19
Envariabelanalys
| Versionen från 22 maj 2007 kl. 13.52 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (3 juni 2007 kl. 12.48) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (12 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | ==L'HOSPITALS REGLER== | + | ==SERIER== |
| - | För att undvika missförstånd redan i ett tidigt skede bör det påpekas att | + | Idag ska vi bland annat titta på hur man beräknar en summa av oändligt många tal. Kan man det, och kan en sådan summa ha ett ändligt värde som den konvergerar mot? Om en summa inte har ett ändligt värde säger man att den divergerar. Det verkar konstigt att kunna summera upp oändligt många tal till ett ändligt tal, och Zenon var en av de gamla grekerna som brydde sitt huvud med detta. Zenons paradox (som egentligen inte är någon paradox) lyder kort att om man ska förflytta sig från en punkt till en annan så måste man först gå halva vägen, därefter hälften av återstoden osv i all oändlighet. Hur kan man då någonsin komma fram, om det inte är så att det går att summera upp ett oändligt antal små steg till ett ändligt tal? Verkligheten säger oss att man ju kan gå från en punkt till en annan, men filosoferna fick aldrig rätsida på detta och som tur var kom matematikerna till undsättning och visade (vilket alla icke-filosofer redan visste) att man faktiskt kan ta sig från en punkt till en annan inom en ändlig tidsrymd. Idag ska vi bevisa det! :-) |
| - | detta avsnitt inte har någonting att göra med den eventuella | + | |
| - | sjukhusvistelse ni kan tycka er ha behov av nu när vi är inne på kursens | + | |
| - | nionde dag. Att lära sig en massa regler kan kännas som att diska en | + | |
| - | kastrull med stålull efter att ha poppat sina popcorn en timme för länge - | + | |
| - | det tar tid och kräver hög koncentration - men som tur är gäller detta | + | |
| - | avsnitt bara två regler, och dessa regler är mycket viktiga verktyg vid | + | |
| - | beräkning av gränsvärden av typen $0/0$ och $\infty/\infty$. | + | |
| - | '''4.9''' Läs om l'Hôpitals regler (Sats 12 och Sats 13) samt exempel 2-8. | + | '''9.1''' Serier och konvergens. Introduktion om konvergens av talföljder (sequences). Läs detta avsnitt till och med Exempel 6. |
| - | Övninsuppgifter: | + | '''9.2''' Oändliga serier. Konvergens av en (oädlig) serie betyder att följden av dess partialsummor konvergerar. Den geometriska serien och resultaten om den är viktiga. Exempel 4 skall man känna till: den harmoniska serien är divergent. Sats 4 ger ett test för divergens: om inte den allmänna termen går mot noll så är serien divergent. Observera att omvändningen av denna sats inte gäller, tex är den harmoniska serien divergent trots att dess allmänna term går mot noll. Läs hela detta avsnitt. |
| - | *4.9: 1 3 5 9 11 13 15 17 19. | + | Gör följande övningsuppgifter: |
| + | * 9.1: 1 5 9 15 17. | ||
| + | * 9.2: 1 3 5 9 15 17 21. | ||
| - | Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är | + | Om du har lust och tid över kan du även göra följande uppgifter som är svårare: |
| - | snäppet svårare: | + | * 9.2: 23 25 27 29 31. |
| - | + | ||
| - | *4.9: 27 29. | + | |
Nuvarande version
[redigera] SERIER
Idag ska vi bland annat titta på hur man beräknar en summa av oändligt många tal. Kan man det, och kan en sådan summa ha ett ändligt värde som den konvergerar mot? Om en summa inte har ett ändligt värde säger man att den divergerar. Det verkar konstigt att kunna summera upp oändligt många tal till ett ändligt tal, och Zenon var en av de gamla grekerna som brydde sitt huvud med detta. Zenons paradox (som egentligen inte är någon paradox) lyder kort att om man ska förflytta sig från en punkt till en annan så måste man först gå halva vägen, därefter hälften av återstoden osv i all oändlighet. Hur kan man då någonsin komma fram, om det inte är så att det går att summera upp ett oändligt antal små steg till ett ändligt tal? Verkligheten säger oss att man ju kan gå från en punkt till en annan, men filosoferna fick aldrig rätsida på detta och som tur var kom matematikerna till undsättning och visade (vilket alla icke-filosofer redan visste) att man faktiskt kan ta sig från en punkt till en annan inom en ändlig tidsrymd. Idag ska vi bevisa det! :-)
9.1 Serier och konvergens. Introduktion om konvergens av talföljder (sequences). Läs detta avsnitt till och med Exempel 6.
9.2 Oändliga serier. Konvergens av en (oädlig) serie betyder att följden av dess partialsummor konvergerar. Den geometriska serien och resultaten om den är viktiga. Exempel 4 skall man känna till: den harmoniska serien är divergent. Sats 4 ger ett test för divergens: om inte den allmänna termen går mot noll så är serien divergent. Observera att omvändningen av denna sats inte gäller, tex är den harmoniska serien divergent trots att dess allmänna term går mot noll. Läs hela detta avsnitt.
Gör följande övningsuppgifter:
- 9.1: 1 5 9 15 17.
- 9.2: 1 3 5 9 15 17 21.
Om du har lust och tid över kan du även göra följande uppgifter som är svårare:
- 9.2: 23 25 27 29 31.
