Dag 2
Envariabelanalys
| Versionen från 16 maj 2007 kl. 09.52 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (7 juni 2007 kl. 13.59) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (19 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| ==KONTINUITET OCH DERIVATA== | ==KONTINUITET OCH DERIVATA== | ||
| - | I dessa tider av förgänglighet gäller det att ha förmågan att finna något beständigt och kontinuerligt som kan ledsaga en genom livets outgrundliga vägar. Kontinuerliga funktioner kallas ofta av matematiker för "snälla" funktioner. De lärde tvistar för närvarande exempelvis om huruvida tiden är kontinuerlig eller uppträder i små diskreta paket. Denna dag kommer vi också att gå igenom derivator. Ve den som lämnar jordelivet (eller detta avsnitt) | + | I dessa tider av förgänglighet gäller det att ha förmågan att finna något beständigt och kontinuerligt som kan ledsaga en genom livets outgrundliga vägar. Kontinuerliga funktioner kallas ofta av matematiker för ''snälla'' funktioner. De lärde tvistar för närvarande exempelvis om huruvida tiden är kontinuerlig eller uppträder i små diskreta paket. Denna dag kommer vi också att gå igenom derivator. Deriverbara funktioner är också snälla. Ve den som lämnar jordelivet (eller detta avsnitt) utan att kunna derivera en elementär funktion! |
| - | utan att kunna derivera en elementär funktion! | + | |
| - | * 1.4 Då man infört gränsvärden är kontinuitet nästa steg. Att en funktion är kontinuerlig betyder att den har gränsvärden överallt och att dessa sammanfaller med funktionsvärdena. Läs igenom definition 4, 5, 6 och 7 samt sats 5,6, 7 och 8 och exempel 1-6. | + | Om funderingarna blir för många och din hög med obesvarade frågor börjar växa sig stadig ända upp till stratosfären eller ännu högre atmosfäriska lager, glöm inte att du då kan maila eller ringa någon av våra kompetenta mentorer. Det vore inte bra om frågorna hamnade utanför ozonlagret (som ju utgör den övre delen av stratosfären) eftersom vi på nätkurserna då inte kan garantera att mentorernas svar inte tar skada av UV-strålningen på vägen till er mailbox. |
| - | Sats 8 är mycket viktig och är grunden i optimeringsproblem (max och min). Sats 9, "satsen om mellanliggande värden", används i tillämpningar för att finna rötter till ekvationer. | + | |
| - | Läs exempel 9-11. | + | |
| - | * 2.1 I detta avsnitt förbereds derivatans införande genom en diskution av lutning (slope) och tangentlinjer till kurvor y = f(x). Det mesta bör vara bekant från gymnasiet, men, notera formeln för normalens lutning, s. 99. | + | * '''1.4''' Då man infört gränsvärden är kontinuitet nästa steg. Att en funktion är kontinuerlig betyder att den har gränsvärden överallt och att dessa sammanfaller med funktionsvärdena. Läs igenom |
| - | Läs exempel 1-7 | + | ** Definitionerna 4, 5, 6 och 7. |
| + | ** Satserna 5,6, 7 och 8. | ||
| + | ** Exempel 1-6. | ||
| + | Sats 8 är viktig och är i grunden ett optimeringsproblem (max och min). Sats 9 om mellanliggande värden används i tillämpningar för att finna rötter till ekvationer - läs exempel 10 och 11. Kap. 1.5 är frivillig läsning för den intresserade. | ||
| - | * 2.2 Definition av derivatan, s. 101. Du bör i enkla exempel kunna beräkna derivator utgående från definitionen. | + | * '''2.1''' I detta avsnitt förbereds derivatans införande genom en diskussion av lutning (slope) samt tangentlinjer till kurvor. Läs exempel 1-7. |
| - | Derivata av potenser (power rule), s. 104. (Den visas för heltal i avsnitt 2.3. Det generella fallet kräver logaritmer, kap. 3.) | + | |
| - | Observera Leibniz' beteckningar, s. 105. De gör många formler enklare och mer intuitiva. | + | |
| - | Läs exempel 1-5. | + | |
| - | Övninsuppgifter: | + | * '''2.2''' Definition av derivatan. Du bör i enkla exempel kunna beräkna derivator utgående från definitionen. Läs igenom hela avsnitt 2.2 och observera Leibniz' beteckningar som gör många formler enklare och mer intuitiva. |
| - | * 1.4: 7 8 17 18 21 22 23 28. | + | |
| - | * 2.1: 1 3 5 18. | + | Gör följande övninsuppgifter: |
| - | * 2.2: 16 19 25 32. Lite svårare: 48 51. | + | * 1.4: 13 17 21 23. |
| + | * 2.1: 1 5 9. | ||
| + | * 2.2: 15 19 25. | ||
| + | Om du har lust och tid över kan du göra följande | ||
| + | övningsuppgifter som är snäppet svårare: | ||
| + | * 1.4: 31 32. | ||
| + | * 2.1: 19 21 23. | ||
| + | * 2.2: 48 49 51. | ||
| + | |||
| + | Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 1 under rubriken "Chapter Review" sid. 91-92. | ||
Nuvarande version
[redigera] KONTINUITET OCH DERIVATA
I dessa tider av förgänglighet gäller det att ha förmågan att finna något beständigt och kontinuerligt som kan ledsaga en genom livets outgrundliga vägar. Kontinuerliga funktioner kallas ofta av matematiker för snälla funktioner. De lärde tvistar för närvarande exempelvis om huruvida tiden är kontinuerlig eller uppträder i små diskreta paket. Denna dag kommer vi också att gå igenom derivator. Deriverbara funktioner är också snälla. Ve den som lämnar jordelivet (eller detta avsnitt) utan att kunna derivera en elementär funktion!
Om funderingarna blir för många och din hög med obesvarade frågor börjar växa sig stadig ända upp till stratosfären eller ännu högre atmosfäriska lager, glöm inte att du då kan maila eller ringa någon av våra kompetenta mentorer. Det vore inte bra om frågorna hamnade utanför ozonlagret (som ju utgör den övre delen av stratosfären) eftersom vi på nätkurserna då inte kan garantera att mentorernas svar inte tar skada av UV-strålningen på vägen till er mailbox.
- 1.4 Då man infört gränsvärden är kontinuitet nästa steg. Att en funktion är kontinuerlig betyder att den har gränsvärden överallt och att dessa sammanfaller med funktionsvärdena. Läs igenom
- Definitionerna 4, 5, 6 och 7.
- Satserna 5,6, 7 och 8.
- Exempel 1-6.
Sats 8 är viktig och är i grunden ett optimeringsproblem (max och min). Sats 9 om mellanliggande värden används i tillämpningar för att finna rötter till ekvationer - läs exempel 10 och 11. Kap. 1.5 är frivillig läsning för den intresserade.
- 2.1 I detta avsnitt förbereds derivatans införande genom en diskussion av lutning (slope) samt tangentlinjer till kurvor. Läs exempel 1-7.
- 2.2 Definition av derivatan. Du bör i enkla exempel kunna beräkna derivator utgående från definitionen. Läs igenom hela avsnitt 2.2 och observera Leibniz' beteckningar som gör många formler enklare och mer intuitiva.
Gör följande övninsuppgifter:
- 1.4: 13 17 21 23.
- 2.1: 1 5 9.
- 2.2: 15 19 25.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 1.4: 31 32.
- 2.1: 19 21 23.
- 2.2: 48 49 51.
Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 1 under rubriken "Chapter Review" sid. 91-92.
