Dag 10
Envariabelanalys
| Versionen från 18 maj 2007 kl. 13.13 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (7 juni 2007 kl. 14.56) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (9 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | Det som är så fantastiskt med matematiken är att det som en gång bevisats | + | ==EXTREMVÄRDESPROBLEM OCH LINJÄRA APPROXIMATIONER== |
| - | för alltid är sant och därmed förevigat i den matematiska forskningen. | + | |
| - | Matematiken är kumulativ till sin natur, och man kan alltid använda | + | |
| - | tidigare bevisade resultat för att komma vidare själv. Detta kan jämföras | + | |
| - | med den tragiska situationen i mer världslig forskning där exempelvis | + | |
| - | upptäckten av en ny partikel eller ett roterande femdimensionellt membran kan rasera flera års ansträngningar och publicerade artiklar kring universums uppbyggnad. | + | |
| - | '''4.3''' Liksom förstaderivatan förser oss även andraderivatan med värdefull information vad gäller funktioners uppförande. I detta avsnitt ingår bara det så kallade andraderivatatestet, formulerat i Sats 6, samt det efterföljande exemplet 3. Men för allmänbildningens skull kan det vara bra att skumma igenom även början på avsnittet. | + | Idag kommer vi bland annat att lösa olika praktiska problem av |
| + | min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som | ||
| + | exempel 4 i avsnitt 4.5. Det finns också intressanta tillämpningar inom | ||
| + | andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget | ||
| + | problem och lös! | ||
| - | '''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal Curve Sketching". | + | Tangenten till en graf $f$ i en given punkt $a$ är den bästa ''räta |
| + | linje'' som beskriver $f$:s uppförande i $a$. Där har tangentlinjen som | ||
| + | bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och kallas för | ||
| + | ''lineariseringen'' av $f$ kring $a$. Denna utgör en | ||
| + | ''linjär approximation'' av $f$ för x-värden nära $a$. Vi har | ||
| + | alltså approximerat $f$ med ett förstagradspolynom (en rät linje). Denna | ||
| + | metod, som tas upp i 4.7, kan användas när $f(a)$ och $f'(a)$ är kända. | ||
| + | Man kan erhålla ännu bättre approximationer av $f$ för $x$ nära $a$ genom | ||
| + | att använda polynom av högre grad vars (högre ordningens) derivator | ||
| + | sammanfaller med $f$:s (högre ordningens) derivator i $a$ - under | ||
| + | förutsättning att de existerar givetvis. Dessa (optimala) polynom av högre | ||
| + | grad som används för att approximera $f$ nära en given punkt kallas | ||
| + | Taylorpolynom och ju högre gradtal man väljer desto bättre blir | ||
| + | approximationen. Mer om detta i ett senare avsnitt. För allmänbildningens | ||
| + | skull bör man också känna till att man kan approximera funktioner med | ||
| + | trigonometriska funktioner - sk Fourieranalys. | ||
| - | '''4.5''' I avsnittet behandlas "ostrukturerade" max/min-problem. Man måste själv formulera problemen matematiskt. | + | '''4.5''' I avsnittet behandlas max/min-problem där man själv måste |
| - | Läs exempel 1-5. | + | formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar |
| + | lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom | ||
| + | exempel 1-5. | ||
| - | '''4.7''' Formeln för linjär approximation (dvs. approximation av en funktionsgraf med dess tangentlinje) kan skrivas | + | '''4.7''' Approximationer används då det är svårt att få fram det |
| + | ''exakta'' funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation | ||
| + | avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi | ||
| + | kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en | ||
| + | viss punkt finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten. | ||
| + | Läs igenom hela detta avsnitt. | ||
| - | f(x) = f(a) + f´(a)(x - a) + E(x) = P1 + E1(x), där E1(x)= f´´(X)(x - a)2/2 | + | Övninsuppgifter: |
| - | där E1 betecknar resttermen (felet) vid approximationen (av ordning 1). | + | * 4.5: 1 3 7 21. |
| - | Läs exempel 1-4. | + | * 4.7: 1 3 5 7 15. |
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är | ||
| + | snäppet svårare: | ||
| + | |||
| + | * 4.5: 11 19 37 40 41. | ||
| + | * 4.7: 11 13 17 31. | ||
| + | |||
| + | Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 4 under rubriken "Chapter Review" sid. 270-273. | ||
Nuvarande version
[redigera] EXTREMVÄRDESPROBLEM OCH LINJÄRA APPROXIMATIONER
Idag kommer vi bland annat att lösa olika praktiska problem av min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som exempel 4 i avsnitt 4.5. Det finns också intressanta tillämpningar inom andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget problem och lös!
Tangenten till en graf $f$ i en given punkt $a$ är den bästa räta linje som beskriver $f$:s uppförande i $a$. Där har tangentlinjen som bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och kallas för lineariseringen av $f$ kring $a$. Denna utgör en linjär approximation av $f$ för x-värden nära $a$. Vi har alltså approximerat $f$ med ett förstagradspolynom (en rät linje). Denna metod, som tas upp i 4.7, kan användas när $f(a)$ och $f'(a)$ är kända. Man kan erhålla ännu bättre approximationer av $f$ för $x$ nära $a$ genom att använda polynom av högre grad vars (högre ordningens) derivator sammanfaller med $f$:s (högre ordningens) derivator i $a$ - under förutsättning att de existerar givetvis. Dessa (optimala) polynom av högre grad som används för att approximera $f$ nära en given punkt kallas Taylorpolynom och ju högre gradtal man väljer desto bättre blir approximationen. Mer om detta i ett senare avsnitt. För allmänbildningens skull bör man också känna till att man kan approximera funktioner med trigonometriska funktioner - sk Fourieranalys.
4.5 I avsnittet behandlas max/min-problem där man själv måste formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom exempel 1-5.
4.7 Approximationer används då det är svårt att få fram det exakta funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en viss punkt finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten. Läs igenom hela detta avsnitt.
Övninsuppgifter:
- 4.5: 1 3 7 21.
- 4.7: 1 3 5 7 15.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 4.5: 11 19 37 40 41.
- 4.7: 11 13 17 31.
Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 4 under rubriken "Chapter Review" sid. 270-273.
