Dag 10
Envariabelanalys
| Versionen från 18 maj 2007 kl. 13.47 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (7 juni 2007 kl. 14.56) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (2 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | ==ANDRADERIVATOR, ASYMPTOTER OCH KURVRITNING== | + | ==EXTREMVÄRDESPROBLEM OCH LINJÄRA APPROXIMATIONER== |
| - | Det som är så fantastiskt med matematiken är att det som en gång bevisats | + | Idag kommer vi bland annat att lösa olika praktiska problem av |
| - | för alltid är sant och därmed förevigat i den matematiska forskningen. | + | min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som |
| - | Matematiken är kumulativ till sin natur, och man kan alltid använda | + | exempel 4 i avsnitt 4.5. Det finns också intressanta tillämpningar inom |
| - | tidigare bevisade resultat för att komma vidare själv. Detta kan jämföras | + | andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget |
| - | med den tragiska situationen i mer världslig forskning där exempelvis | + | problem och lös! |
| - | upptäckten av en ny partikel eller ett roterande femdimensionellt membran kan rasera flera års ansträngningar och publicerade artiklar kring universums uppbyggnad. | + | |
| - | '''4.3''' Liksom förstaderivatan förser oss även andraderivatan med värdefull information vad gäller funktioners uppförande. Läs igenom hela detta avsnitt, som på den gamla goda tiden var en självklar del i kursböckerna redan på gymnasiet, och kanske är det än idag (?). På sin ålders höst när man samlat in data om allt mellan himmel och jord kan det vara lämpligt att skissera grafer som illustrerar intressanta skeden i livet istället för att skriva dagbok. | + | Tangenten till en graf $f$ i en given punkt $a$ är den bästa ''räta |
| + | linje'' som beskriver $f$:s uppförande i $a$. Där har tangentlinjen som | ||
| + | bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och kallas för | ||
| + | ''lineariseringen'' av $f$ kring $a$. Denna utgör en | ||
| + | ''linjär approximation'' av $f$ för x-värden nära $a$. Vi har | ||
| + | alltså approximerat $f$ med ett förstagradspolynom (en rät linje). Denna | ||
| + | metod, som tas upp i 4.7, kan användas när $f(a)$ och $f'(a)$ är kända. | ||
| + | Man kan erhålla ännu bättre approximationer av $f$ för $x$ nära $a$ genom | ||
| + | att använda polynom av högre grad vars (högre ordningens) derivator | ||
| + | sammanfaller med $f$:s (högre ordningens) derivator i $a$ - under | ||
| + | förutsättning att de existerar givetvis. Dessa (optimala) polynom av högre | ||
| + | grad som används för att approximera $f$ nära en given punkt kallas | ||
| + | Taylorpolynom och ju högre gradtal man väljer desto bättre blir | ||
| + | approximationen. Mer om detta i ett senare avsnitt. För allmänbildningens | ||
| + | skull bör man också känna till att man kan approximera funktioner med | ||
| + | trigonometriska funktioner - sk Fourieranalys. | ||
| - | '''4.4''' I detta avsnitt ingår endast asymptotbegreppet. Läs igenom definitionerna 5-7 och exempel 1-4. Det kan vara en vettig idé att ändå läsa igenom texten i den blå rutan under rubriken "Examples of Formal Curve Sketching". | + | '''4.5''' I avsnittet behandlas max/min-problem där man själv måste |
| + | formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar | ||
| + | lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom | ||
| + | exempel 1-5. | ||
| - | Övninsuppgifter: | + | '''4.7''' Approximationer används då det är svårt att få fram det |
| + | ''exakta'' funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation | ||
| + | avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi | ||
| + | kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en | ||
| + | viss punkt finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten. | ||
| + | Läs igenom hela detta avsnitt. | ||
| - | * 4.3: 5 7 9 11 25 27. | + | Övninsuppgifter: |
| - | * 4.4: 7 13 19 21 37. | + | |
| - | Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: | + | * 4.5: 1 3 7 21. |
| + | * 4.7: 1 3 5 7 15. | ||
| - | * 4.3: 19 21 35 37. | + | Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är |
| - | * 4.4: 41. | + | snäppet svårare: |
| + | |||
| + | * 4.5: 11 19 37 40 41. | ||
| + | * 4.7: 11 13 17 31. | ||
| + | |||
| + | Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 4 under rubriken "Chapter Review" sid. 270-273. | ||
Nuvarande version
[redigera] EXTREMVÄRDESPROBLEM OCH LINJÄRA APPROXIMATIONER
Idag kommer vi bland annat att lösa olika praktiska problem av min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som exempel 4 i avsnitt 4.5. Det finns också intressanta tillämpningar inom andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget problem och lös!
Tangenten till en graf $f$ i en given punkt $a$ är den bästa räta linje som beskriver $f$:s uppförande i $a$. Där har tangentlinjen som bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och kallas för lineariseringen av $f$ kring $a$. Denna utgör en linjär approximation av $f$ för x-värden nära $a$. Vi har alltså approximerat $f$ med ett förstagradspolynom (en rät linje). Denna metod, som tas upp i 4.7, kan användas när $f(a)$ och $f'(a)$ är kända. Man kan erhålla ännu bättre approximationer av $f$ för $x$ nära $a$ genom att använda polynom av högre grad vars (högre ordningens) derivator sammanfaller med $f$:s (högre ordningens) derivator i $a$ - under förutsättning att de existerar givetvis. Dessa (optimala) polynom av högre grad som används för att approximera $f$ nära en given punkt kallas Taylorpolynom och ju högre gradtal man väljer desto bättre blir approximationen. Mer om detta i ett senare avsnitt. För allmänbildningens skull bör man också känna till att man kan approximera funktioner med trigonometriska funktioner - sk Fourieranalys.
4.5 I avsnittet behandlas max/min-problem där man själv måste formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom exempel 1-5.
4.7 Approximationer används då det är svårt att få fram det exakta funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en viss punkt finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten. Läs igenom hela detta avsnitt.
Övninsuppgifter:
- 4.5: 1 3 7 21.
- 4.7: 1 3 5 7 15.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 4.5: 11 19 37 40 41.
- 4.7: 11 13 17 31.
Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 4 under rubriken "Chapter Review" sid. 270-273.
