Dag 1
Envariabelanalys
| Versionen från 2 maj 2007 kl. 17.17 (redigera) Jonasso (Diskussion | bidrag) (Ny sida: Appendix B: matematiskt symbolspråk, 1.1: intervall,1.2: funktioner, 1.3: absolutbelopp. * Övningstal: 1.8, 1.10, 1.13, 1.14.) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (8 juni 2007 kl. 10.10) (redigera) (ogör) KTH.SE:u1ykqz3s (Diskussion | bidrag) |
||
| (33 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | Appendix B: matematiskt symbolspråk, 1.1: intervall,1.2: funktioner, 1.3: absolutbelopp. | + | ==GRÄNSVÄRDEN== |
| - | * Övningstal: 1.8, 1.10, 1.13, 1.14. | + | Nu ska du ge dig ut på en spännande resa i analysens värld! <br> |
| + | Det är få förunnat att ha en verktygslåda hemma med alla de instrument som erfordras för att förstå Universum och världsalltets innersta väsen och uppbyggnad. Denna kurs är en blygsam första uppsättning verktyg du kan tänkas behöva för att komma vidare i livet, och kanske också till nästa kurs. Vår förhoppning är att du kommer att fastna för denna ädla vetenskap liksom vi själva gjort och i all vår galenskap och forskarglädje inte kan släppa taget om. | ||
| + | |||
| + | Fundamentalt här är funktionsbegreppet. En funktion uttrycker ett (i positiv bemärkelse naturligtvis) beroende. Populärt uttryckt är en funktion en regel som till varje element x i mängden A ordnar precis ett element y i mängden B. | ||
| + | |||
| + | Kanske kan ditt poängtal på den förestående tentan uttryckas som en funktion av antalet övningsuppgifter du gör i dessa läsanvisningar (där antalet uppgifter du gör är variabeln). Men säkerligen beror ditt poängtal på flera ingående faktorer/variabler - hur bra är kursboken, hur intresserad är du av matematik, hur snäll är läraren, hur lång tid har du på dig, och hur intresserad är du av att klara av tentan egentligen? Men då är vi inne på djupt vatten - nämligen flervariabelanalys. I denna kurs ägnar vi oss åt funktioner av en variabel. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | * '''1.1''' Detta avsnitt är av orienterande och motiverande karaktär. Läs Exempel 1-3. | ||
| + | |||
| + | * '''1.2-1.3''' Gränsvärdesbegreppet är fundamentalt i kursen. Jämför den formella definitionen med den informella. Den idé som ligger bakom är inte svår. En funktion har ett gränsvärde i en punkt precis då dess vänster- och högergränsvärden i punkten existerar och är lika. Vid beräkning av gränsvärden används gränsvärdeslagarna på sidan 66. I 1.3 tittar vi på gränsvärden då variabeln går mot oändligheten, samt "oändliga gränsvärlden" (infinite limits) en benämning som egentligen är lite missvisande då oändligheten ju saknar gräns per definition, och därför kallar man ibland oändliga gränsvärden för "oegentliga gränsvärden". | ||
| + | |||
| + | Läs följande exempel: | ||
| + | * 1.2: 1,3-9. | ||
| + | * 1.3: 1-10. | ||
| + | |||
| + | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| + | * 1.2: 7 13 17 23 55 67. | ||
| + | * 1.3: 3 7 9 11 13. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du göra följande | ||
| + | övningsuppgifter som är snäppet svårare: | ||
| + | * 1.2: 25 27 29 57 67. | ||
| + | * 1.3: 27 29 31. | ||
Nuvarande version
[redigera] GRÄNSVÄRDEN
Nu ska du ge dig ut på en spännande resa i analysens värld!
Det är få förunnat att ha en verktygslåda hemma med alla de instrument som erfordras för att förstå Universum och världsalltets innersta väsen och uppbyggnad. Denna kurs är en blygsam första uppsättning verktyg du kan tänkas behöva för att komma vidare i livet, och kanske också till nästa kurs. Vår förhoppning är att du kommer att fastna för denna ädla vetenskap liksom vi själva gjort och i all vår galenskap och forskarglädje inte kan släppa taget om.
Fundamentalt här är funktionsbegreppet. En funktion uttrycker ett (i positiv bemärkelse naturligtvis) beroende. Populärt uttryckt är en funktion en regel som till varje element x i mängden A ordnar precis ett element y i mängden B.
Kanske kan ditt poängtal på den förestående tentan uttryckas som en funktion av antalet övningsuppgifter du gör i dessa läsanvisningar (där antalet uppgifter du gör är variabeln). Men säkerligen beror ditt poängtal på flera ingående faktorer/variabler - hur bra är kursboken, hur intresserad är du av matematik, hur snäll är läraren, hur lång tid har du på dig, och hur intresserad är du av att klara av tentan egentligen? Men då är vi inne på djupt vatten - nämligen flervariabelanalys. I denna kurs ägnar vi oss åt funktioner av en variabel.
- 1.1 Detta avsnitt är av orienterande och motiverande karaktär. Läs Exempel 1-3.
- 1.2-1.3 Gränsvärdesbegreppet är fundamentalt i kursen. Jämför den formella definitionen med den informella. Den idé som ligger bakom är inte svår. En funktion har ett gränsvärde i en punkt precis då dess vänster- och högergränsvärden i punkten existerar och är lika. Vid beräkning av gränsvärden används gränsvärdeslagarna på sidan 66. I 1.3 tittar vi på gränsvärden då variabeln går mot oändligheten, samt "oändliga gränsvärlden" (infinite limits) en benämning som egentligen är lite missvisande då oändligheten ju saknar gräns per definition, och därför kallar man ibland oändliga gränsvärden för "oegentliga gränsvärden".
Läs följande exempel:
- 1.2: 1,3-9.
- 1.3: 1-10.
Gör följande övningsuppgifter:
- 1.2: 7 13 17 23 55 67.
- 1.3: 3 7 9 11 13.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 1.2: 25 27 29 57 67.
- 1.3: 27 29 31.
