Dag 12
Envariabelanalys
| Versionen från 21 maj 2007 kl. 08.51 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (22 maj 2007 kl. 14.13) (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) |
||
| (21 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | Nu ger vi oss in i ett nytt område, nämligen integration, ett område som inte ens våra folkvalda behärskar till fullo. Integrering är den inversa operationen till derivering. Om $F'(x)=f(x)$ så är $F(x)$ den primitiva funktionen (det som i läroboken benämns antiderivatan) till funktionen $f(x)$. | + | ==VARIABELSUBSTITUTION OCH AREABERÄKNINGAR== |
| - | Det går tyvärr inte alltid astt finna den primitiva funktionen (det som i läroboken benämns antiderivatan) till en funktion, ett exempel är funktionen $e^{x^2}$, som inte är derivatan till någon ändlig kombination av elementära funktioner. | + | I dag tittar vi på olika integrationstekniker. |
| + | Sökandet efter den primitiva funktionen till en viss funktion kan ibland | ||
| + | underlättas betydligt genom en lämplig variabelsubstitution. Det finns | ||
| + | dock funktioner som saknar en elementär primitiv funktion, dvs den | ||
| + | primitiva funktionen kan inte uttryckas med hjälp av de fyra räknesätten | ||
| + | och en sammansättning av ett ändligt antal elementära funktioner, till | ||
| + | exempel funktionen $e^{-x^2}$, som är mycket viktig inom | ||
| + | sannolikhetsläran. Här finns det ingen lämplig substitution som fungerar, | ||
| + | utan man måste ta till numeriska metoder. Minns den store von Goethes ord: | ||
| + | $\textit{"Vår Herre har skapat nötterna,}$ | ||
| + | $\textit{men han har inte knäckt dem."}$ | ||
| - | 5.1-5.2 Här diskuteras areabegreppet och beräkning av areor genom gränsövergång. Man bör genomföra någon sådan beräkning för att till fullo uppskatta effektiviteten i den metod vi senare beräknar integraler med. | ||
| - | Läs exempel 1-2 i 5.2. | ||
| - | 5.3 Bestämda integraler införs genom över- och undersummor. Idén är att då indelningen blir finare skall, för "integrerbara" (def. 3) funktioner, dess över- och undersummor båda ha samma gränsvärde, integralen av funktionen. Sats 2, s. 316, visar att denna procedur fungerar för kontinuerliga funktioner. | + | '''5.6''' Variabelsubstitution i integraler (Sats 6) innebär att man |
| - | Läs exempel 2-4. | + | använder kedjeregeln baklänges och är en viktig metod. I samband med |
| + | integrering av trigonometriska funktioner bör man bla känna till formlerna | ||
| + | för dubbla vinkeln. Genom att göra tillräckligt många | ||
| + | övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken | ||
| + | substitution som är lämplig. Läs exempel 3-9. | ||
| - | 5.4 Här härleds diverse egenskaper till den bestämda integralen (Sats 3, s. 317-318). Integralkalkylens medelvärdessats (Sats 4, s. 320) kommer in i den oumbärliga Integralkalkylens fundamentalsats i nästa avsnitt. | + | '''5.7''' Här fördjupar vi oss i beräkningen av arean mellan två kurvor. |
| - | Läs exempel 1, 3. | + | Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera |
| + | vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter | ||
| + | beräknas integralen på vanligt sätt. Läs exempel 1-4. | ||
| - | 5.5 Sats 5, Integralens fundamentalsats, är vad gör integralen till ett användbart verktyg, genom kopplingen till differentialkalkylen. Satsen visar att varje kontinuerlig funktion har en primitiv funktion. | + | Gör följande övningsuppgifter: |
| - | Läs exempel 2, 4, 7, 9. | + | |
| + | * 5.6: 1 3 5 7 9 19 21 23. | ||
| + | * 5.7: 3 5 11 19. | ||
| + | |||
| + | Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är | ||
| + | snäppet svårare: | ||
| + | |||
| + | * 5.6: 11 17 45. | ||
| + | * 5.7: 25 27 29. | ||
| + | |||
| + | Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 5 under rubriken "Chapter Review" sid. 314-315. | ||
Nuvarande version
[redigera] VARIABELSUBSTITUTION OCH AREABERÄKNINGAR
I dag tittar vi på olika integrationstekniker. Sökandet efter den primitiva funktionen till en viss funktion kan ibland underlättas betydligt genom en lämplig variabelsubstitution. Det finns dock funktioner som saknar en elementär primitiv funktion, dvs den primitiva funktionen kan inte uttryckas med hjälp av de fyra räknesätten och en sammansättning av ett ändligt antal elementära funktioner, till exempel funktionen $e^{-x^2}$, som är mycket viktig inom sannolikhetsläran. Här finns det ingen lämplig substitution som fungerar, utan man måste ta till numeriska metoder. Minns den store von Goethes ord: $\textit{"Vår Herre har skapat nötterna,}$ $\textit{men han har inte knäckt dem."}$
5.6 Variabelsubstitution i integraler (Sats 6) innebär att man
använder kedjeregeln baklänges och är en viktig metod. I samband med
integrering av trigonometriska funktioner bör man bla känna till formlerna
för dubbla vinkeln. Genom att göra tillräckligt många
övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken
substitution som är lämplig. Läs exempel 3-9.
5.7 Här fördjupar vi oss i beräkningen av arean mellan två kurvor. Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter beräknas integralen på vanligt sätt. Läs exempel 1-4.
Gör följande övningsuppgifter:
- 5.6: 1 3 5 7 9 19 21 23.
- 5.7: 3 5 11 19.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 5.6: 11 17 45.
- 5.7: 25 27 29.
Observera att det finns flera blandade uppgifter i repetitionssyfte för kap. 5 under rubriken "Chapter Review" sid. 314-315.
