Dag 11
Envariabelanalys
| Versionen från 18 maj 2007 kl. 21.27 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 18 maj 2007 kl. 21.41 (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 3: | Rad 3: | ||
| Idag kommer vi att lösa olika praktiska problem av min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som exempel 4 i avsnitt 4.5! Det finns också intressanta problem av min/max-typ inom andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget problem och lös! | Idag kommer vi att lösa olika praktiska problem av min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som exempel 4 i avsnitt 4.5! Det finns också intressanta problem av min/max-typ inom andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget problem och lös! | ||
| - | Tangenten till en graf f i en given punkt a är den bästa $\textit{räta linje}$ som beskriver f:s uppförande i a. Där har tangentlinjen som bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och högerledet kallas $\textit{lineariseringen}$ av f kring a och utgör en $\textit{lineär approximation}$ av f för x-värden nära a. Vi har alltså approximerat f med ett förstagradspolynom och denna metod , som tas upp i 4.7, kan användas när f(a) och f'(a) är kända. | + | Tangenten till en graf f i en given punkt a är den bästa $\textit{räta linje}$ som beskriver f:s uppförande i a. Där har tangentlinjen som bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och högerledet kallas $\textit{lineariseringen}$ av f kring a och utgör en $\textit{lineär approximation}$ av f för x-värden nära a. Vi har alltså approximerat f med ett förstagradspolynom, och denna metod, som tas upp i 4.7, kan användas när f(a) och f'(a) är kända. Man kan erhålla ännu bättre approximationer av f(x) för x nära a genom att använda polynom av högre grad vars (högre ordningens) derivator sammanfaller med f:s derivator i punkten a (detta förutsätter givetvis att dessa derivator till f existerar i a). |
| + | Dessa (optimala) polynom av högre grad som används för att approximera f nära en given punkt kallas Taylor polynom och ju högre gradtal man väljer desto bättre blir approximationen. Mer om detta i ett senare avsnitt. För allmänbildningens skull bör man också känna till att man kan approximera funktioner med trigonometriska funktioner - sk Fourieranalys. | ||
| '''4.5''' I avsnittet behandlas "ostrukturerade" max/min-problem där man själv måste formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom exempel 1-5. | '''4.5''' I avsnittet behandlas "ostrukturerade" max/min-problem där man själv måste formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom exempel 1-5. | ||
| - | '''4.7''' Approximationer används då det är svårt att få fram det $\textit{exakta}$ funktionsvärdet i en punkt. Här kommer vi att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en viss punkt försöka finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten. Med linjär approximation avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje. Läs igenom hela detta avsnitt. | + | '''4.7''' Approximationer används då det är svårt att få fram det $\textit{exakta}$ funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en viss punkt finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten. Läs igenom hela detta avsnitt. |
| Övninsuppgifter: | Övninsuppgifter: | ||
Versionen från 18 maj 2007 kl. 21.41
EXTREMVÄRDESPROBLEM OCH LINJÄRA APPROXIMATIONER
Idag kommer vi att lösa olika praktiska problem av min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som exempel 4 i avsnitt 4.5! Det finns också intressanta problem av min/max-typ inom andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget problem och lös!
Tangenten till en graf f i en given punkt a är den bästa $\textit{räta linje}$ som beskriver f:s uppförande i a. Där har tangentlinjen som bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och högerledet kallas $\textit{lineariseringen}$ av f kring a och utgör en $\textit{lineär approximation}$ av f för x-värden nära a. Vi har alltså approximerat f med ett förstagradspolynom, och denna metod, som tas upp i 4.7, kan användas när f(a) och f'(a) är kända. Man kan erhålla ännu bättre approximationer av f(x) för x nära a genom att använda polynom av högre grad vars (högre ordningens) derivator sammanfaller med f:s derivator i punkten a (detta förutsätter givetvis att dessa derivator till f existerar i a). Dessa (optimala) polynom av högre grad som används för att approximera f nära en given punkt kallas Taylor polynom och ju högre gradtal man väljer desto bättre blir approximationen. Mer om detta i ett senare avsnitt. För allmänbildningens skull bör man också känna till att man kan approximera funktioner med trigonometriska funktioner - sk Fourieranalys.
4.5 I avsnittet behandlas "ostrukturerade" max/min-problem där man själv måste formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom exempel 1-5.
4.7 Approximationer används då det är svårt att få fram det $\textit{exakta}$ funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en viss punkt finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten. Läs igenom hela detta avsnitt.
Övninsuppgifter:
- 4.5: 1 3 7 21.
- 4.7: 1 3 5 7 15.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 4.5: 11 19 37 40 41.
- 4.7: 11 13 17 31.
