Dag 13
Envariabelanalys
| Versionen från 21 maj 2007 kl. 11.43 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 22 maj 2007 kl. 13.42 (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | ==VARIABELSUBSTITUTION OCH AREABERÄKNINGAR== | + | ==PARTIELL INTEGRATION OCH INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK== |
| - | I dag tittar vi på olika integrationstekniker. | + | Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna |
| - | Sökandet efter den primitiva funktionen till en viss funktion kan ibland underlättas betydligt genom en lämplig variabelsubstitution. Det finns dock funktioner som saknar en elementär primitiv funktion, dvs den primitiva funktionen kan inte uttryckas med hjälp av de fyra räknesätten och en sammansättning av ett ändligt antal elementära funktioner, till exempel funktionen $e^{-x^2}$, som är mycket viktig inom sannolikhetsläran. Här finns det ingen lämplig substitution som fungerar, utan man måste ta till numeriska metoder. Minns den store von Goethes ord: $\textit{"Vår Herre har skapat nötterna,}$ | + | integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas |
| - | $\textit{men han har inte knäckt dem."}$ | + | $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två |
| + | funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och | ||
| + | $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int | ||
| + | f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$. | ||
| - | + | Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från | |
| - | '''5.6''' Variabelsubstitution i integraler (Sats 6) innebär att man använder kedjeregeln baklänges och är en viktig metod. I samband med integrering av trigonometriska funktioner bör man bla känna till formlerna för dubbla vinkeln. Genom att göra tillräckligt många | + | regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera |
| - | övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken substitution som är lämplig. Läs exempel 3-9. | + | att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta |
| + | den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. | ||
| + | Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en | ||
| + | integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man | ||
| + | behöva partialintegrera upprepade gånger. | ||
| - | '''5.7''' Här fördjupar vi oss i beräkningen av arean mellan två kurvor. Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter beräknas integralen på vanligt sätt. Läs exempel 1-4. | + | '''6.1''' Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6. |
| + | |||
| + | '''6.2''' Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$ | ||
| + | substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det | ||
| + | vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution. | ||
| Gör följande övningsuppgifter: | Gör följande övningsuppgifter: | ||
| + | *6.1: 1 5 7 19 21. | ||
| + | *6.2: 1 5 9 15 17. | ||
| - | * 5.6: 1 3 5 7 9 19 21 23. | + | Om du har lust och tid över kan du göra följande |
| - | * 5.7: 3 5 11 19. | + | övningsuppgifter som är snäppet svårare: |
| - | + | *6.1: 15 27 31. | |
| - | Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare: | + | *6.2: 27 31 33 35. |
| - | + | ||
| - | * 5.6: 11 17 45. | + | |
| - | * 5.7: 25 27 29. | + | |
Versionen från 22 maj 2007 kl. 13.42
PARTIELL INTEGRATION OCH INTEGRATION AV RATIONELLA UTTRYCK
Idag fortsätter vi med att leta efter primitiva funktioner och beräkna integraler! Framför allt introducerar vi en metod som kallas $\textit{partialintegration}$ ("integration by parts"). Nämligen, om två funktioner $f$ och $g$ är kontinuerliga i intergrationsintervallet och $F$ är en primitiv funktion till $f$ så gäller: $\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$.
Denna regel för att $\textit{integrera}$ en produkt härleds lätt från regeln för att $\textit{derivera}$ en produkt: $(fg)'=f'g+fg'$. Observera att man kan partialintegrera "en enda" funktion $f(x)$ genom att betrakta den som produkten $1\cdot f(x)$, detta gör man tex i fallet $f(x)=\ln x$. Poängen är att man efter partialintegrationen helst ska erhålla en integral som är enklare att beräkna än den ursprungliga. Ibland kan man behöva partialintegrera upprepade gånger.
6.1 Partialintegration. Läs exempel 1, 2, 5 och 6.
6.2 Inversa substitutioner. Läs exempel 1-6. "The $\tan(\theta/2)$ substitution" ingår inte här, men för den som har tid och lust kan det vara intressant att ta en närmare titt på denna speciella substitution.
Gör följande övningsuppgifter:
- 6.1: 1 5 7 19 21.
- 6.2: 1 5 9 15 17.
Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:
- 6.1: 15 27 31.
- 6.2: 27 31 33 35.
