Dag 4
Envariabelanalys
| Versionen från 16 maj 2007 kl. 11.41 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 16 maj 2007 kl. 12.00 (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| ==DERIVATOR AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER SAMT HÖGRE DERIVATOR== | ==DERIVATOR AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER SAMT HÖGRE DERIVATOR== | ||
| - | De trigonometriska funktionerna studerades redan under antiken och är mycket användbara för att beskriva periodiska förlopp. | + | De trigonometriska funktionerna studerades redan under antiken och är mycket användbara för att beskriva periodiska förlopp. Här kommer vi att lära oss att derivera dessa funktioner. Vi kommer också att titta på högre ordningens derivator, exempelvis är ett objekts accelerationen derivatan av dess hastigheten och därmed andraderivatan av dess läge med avseende på tiden. |
| Rad 9: | Rad 9: | ||
| Läs exempel 1-5. | Läs exempel 1-5. | ||
| - | 2.6 Medelvärdessatsen (Sats 11, s. 131) är mycket viktig. Satsens geometriska betydelse framgår av figur 2.25 (s. 131). Figur 2.26 på samma sida visar att man inte kan ändra på någon av satsens förutsättningar. | ||
| - | Med hjälp av medelvärdessatsen kan man dra slutsatser om en funktions avtagande/växande (dessa begrepp införs i def. 5, s. 133) om man vet derivatans tecken i ett intervall. Det viktigaste ur tillämpningssynpunkt är just detta, formulerat i Sats 12, s. 134. | ||
| - | Det är lätt att övertyga sig själv om att medelvärdessatsen gäller i det fall då funktionen antar lika värden i intervallets ändpunkter (Rolles sats, s. 134). Notera att man behöver här satsen om största och mista värde (max/min Theorem 8, s. 80). Från Rolles sats får man medelvärdessatsen genom ett slags variabelbyte; se fig. 2.30, s. 136. | ||
| 2.7 Det kan vara bra att skumma igenom detta avsnitt för att bekanta sig med några tillämpningar av derivatan. | 2.7 Det kan vara bra att skumma igenom detta avsnitt för att bekanta sig med några tillämpningar av derivatan. | ||
| 2.8 Högre ordningens derivator införs på naturligt sätt. Tolkning och tillämpningar följer i senare avsnitt. | 2.8 Högre ordningens derivator införs på naturligt sätt. Tolkning och tillämpningar följer i senare avsnitt. | ||
Versionen från 16 maj 2007 kl. 12.00
DERIVATOR AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER SAMT HÖGRE DERIVATOR
De trigonometriska funktionerna studerades redan under antiken och är mycket användbara för att beskriva periodiska förlopp. Här kommer vi att lära oss att derivera dessa funktioner. Vi kommer också att titta på högre ordningens derivator, exempelvis är ett objekts accelerationen derivatan av dess hastigheten och därmed andraderivatan av dess läge med avseende på tiden.
2.5 Med hjälp av gränsvärdet i Sats 8, s. 124, och en trigonometrisk identitet (Ex. 1), kan man härleda derivatan till sinusfunktionen. Trigonometriska formler ger, tillsammans med deriveringsreglerna, uttryck för derivatorna till cosinus-, tangens- och cotangensfunktionerna, som man också skall kunna.
Observera att derivatan av tangens kan skrivas (tan x)´= 1/cos2 x = 1 + tan2 x.
Anm. I engelspråkig litteratur används ofta sekantfunktionerna sec x, osv. Vi kommer inte att göra detta.
Läs exempel 1-5.
2.7 Det kan vara bra att skumma igenom detta avsnitt för att bekanta sig med några tillämpningar av derivatan.
2.8 Högre ordningens derivator införs på naturligt sätt. Tolkning och tillämpningar följer i senare avsnitt.
