Dag 6
Envariabelanalys
| Versionen från 16 maj 2007 kl. 15.10 (redigera) Tanjab (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 18 maj 2007 kl. 08.58 (redigera) (ogör) Tanjab (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 3: | Rad 3: | ||
| Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna. | Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för ''funktion'' måste den dock vara ''entydig'' (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna. | ||
| - | UNDER BEARBETNING!!! | + | * '''3.1''' I detta avsnitt behandlas inverterbara (one-to-one) funktioner. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Läs även igenom det sista avsnittet om inversens derivata och exempel 1-4. |
| - | + | ||
| - | * '''3.1''' Inverterbara (one-to-one) funktioner, def. 1. Invers funktion, def. 2, och dess egenskaper, s. 175. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Inversens derivata, mitt på s. 177 och förklarande figur 3.6. | + | |
| - | Läs exempel 1, 2, 4. | + | |
| * '''3.2''' Ingår i inledande kurs. Repetera gärna avsnittet. | * '''3.2''' Ingår i inledande kurs. Repetera gärna avsnittet. | ||
Versionen från 18 maj 2007 kl. 08.58
INVERSA FUNKTIONER. EXPONENTIAL- OCH LOGARITMFUNKTIONER
Idag kommer vi att ägna oss åt begreppet invers funktion. Ett exempel du säkert redan stött på är de sk arcusfunktionerna (de cyklometriska funktionerna). Om sin(v)=1/2, vilken vinkel svarar då v mot? Ett svar är naturligtvis 30 grader. Vi säger att arcsin(1/2)= 30, där arcsin är den inversa funktionen till sinus-funktionen. Notera här att även 150 grader skulle kunna vara ett svar. För att arcus-funktionen ska kunna kallas för funktion måste den dock vara entydig (till varje x hör max ett y-värde). Så för att unvika flertydighet avgränsar man sig till ett givet intervall, tex mellan -90 och +90 grader, och då har vi det entydiga svaret +30 grader. De trigonometriska funktionerna är ju periodiska och därmed inverterbara endast i ett intervall där funktionen är strängt monoton. Mer om detta i kursboken. Därefter behandlas exponentialfunktioner samt deras inverser logaritmfunktionerna.
- 3.1 I detta avsnitt behandlas inverterbara (one-to-one) funktioner. Figurerna 3.3-3.5 visar hur man får fram inversen genom att spegla funktionen i linjen y = x. Läs även igenom det sista avsnittet om inversens derivata och exempel 1-4.
- 3.2 Ingår i inledande kurs. Repetera gärna avsnittet.
- 3.3 Här införs funktionen ln x som area av ett område mellan kurvan y = 1/x och x-axeln. Man visar (Sats 1) att ln x är den primitiva funktionen till 1/x som antar värdet 0 för x = 1. Från denna sats följer sedan logaritmlagarna (Sats 2) direkt. Exponentialfunktionen införs som invers till ln x och exponentiallagarna (Sats 3) följer av logaritmlagarna. Man definierar talet e genom e = exp 1 och visar att exp x = ex. Sambandet (def. 7, s. 189) är viktig. Någon gång kan du ha användning av logaritmisk derivering.
Läs exempel 1-3, 6-8.
