Dag 15

Envariabelanalys

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER

Buga er inför Adams allomfattande tekniska regelverk! Idag ska vi syssla med rotationsvolymer, båglängder och rotationsareor. Hittills har vi använt integraler för att beräkna en plan ytas area. Nu ska vi visa hur man faktiskt också kan beräkna arean av ett område med buktig yta och annat roligt. Säkert har du tidigare stött på formeln för arean av ett klot: $A=4\pi R^2$, där $R$ betecknar klotets radie. Men varifrån kommer denna formel? Och varifrån kommer uttrycket $V=\frac{4\pi R^3}{3}$ för klotets volym?

I dessa tillämpningar är det inte meningen att ni ska fixera er vid eller memorera vissa integraler, som ni sedan likt en disciplinerad och tuktad skolelev plockar fram ur huvudet inför tentan. Det gäller istället att förstå metoden - och olika sätt att dela upp den betraktade ytan eller kroppen kan leda till olika utseenden på integralen, även om resultatet efter beräkning av integralen naturligtvis blir detsamma.

7.1 Fig. 7.2-7.4 ger en föreställning om varför, rent allmänt, volym är integralen av area (formeln på övre halvan av s. 408). Formeln längst ned på s. 408 behandlar rotation kring x-axeln. Cylindriska skal, s. 411, bygger på en annan idé. Fig. 7.9 visar varför formeln på s. 412 gäller. En sammanfattning av olika fall av rotationsvolymer finns på s. 414. Det är nog bättre att man lär sig hur dessa formler härleds, i stället för att lära dem utantill. Läs exempel 1-3, 6-7.

7.2 Här behandlas andra volymsberäkningar, där metoden är att dela upp kroppen i "tunna skivor", vars area man kan bestämma, varefter man "summerar" dessa, dvs. integrerar arean. Läs exempel 1.

7.3 Båg- eller kurvlängd: formlerna mitt på s. 422. Figur 7.22 förklarar mekanismen. Area av rotationsyta: se sammanställning på s. 426. (återigen rekommenderas att man lär sig härledningen av dessa formler.) Läs exempel 1-2, 5-6.