Dag 2

Envariabelanalys

KONTINUITET OCH DERIVATA

I dessa tider av förgänglighet gäller det att ha förmågan att finna något beständigt och kontinuerligt som kan ledsaga en genom livets outgrundliga vägar. Kontinuerliga funktioner kallas ofta av matematiker för "snälla" funktioner. Ve den som lämnar jordelivet (eller detta avsnitt) utan att känna till den exakta definitionen och den intuitivt uppenbara innebörden av begreppet kontinuitet!

1.4 Då man infört gränsvärden är kontinuitet nästa steg. Att en funktion är kontinuerlig betyder att den har gränsvärden övwerallt och att dessa sammanfaller med funktionsvärdena. Definition 5, 6, 7, 8 och Sats 5, s. 76-77. "De vanliga funktionerna" är kontinuerliga. Se s. 78, nedre delen. Vidare visar Sats 6 och 7 , s. 79, hur man bildar nya kontinuerliga funktioner från givna. Sats 7 är lite annorlunda. Tänkt igenom varför den gäller. Läs exempel 1-6. Sats 8, s. 80, är mycket viktig. Den är grunden i optimeringsproblem (max och min). Man bör förstå att satsen inte är sann, och varför, om man ändrar någon av förutsättningarna; se fig. 1,24. Sats 9, "satsen om mellanliggande värden", används i tillämpningar för att finna rötter till ekvationer. Läs exempel 9-11.

2.1 I detta avsnitt förbereds derivatans införande genom en diskution av lutning (slope) och tangentlinjer till kurvor y = f(x). Det mesta bör vara bekant från gymnasiet, men, notera formeln för normalens lutning, s. 99. Läs exempel 1-7

2.2 Definition av derivatan, s. 101. Du bör i enkla exempel kunna beräkna derivator utgående från definitionen. Derivata av potenser (power rule), s. 104. (Den visas för heltal i avsnitt 2.3. Det generella fallet kräver logaritmer, kap. 3.) Observera Leibniz' beteckningar, s. 105. De gör många formler enklare och mer intuitiva. Läs exempel 1-5.

Övninsuppgifter:

• 1.4: 7 8 17 18 21 22 23 28.
• 2.1: 1 3 5 18.
• 2.2: 16 19 25 32. Lite svårare: 48 51.