Dag 2

Envariabelanalys

KONTINUITET OCH DERIVATA

I dessa tider av förgänglighet gäller det att ha förmågan att finna något beständigt och kontinuerligt som kan ledsaga en genom livets outgrundliga vägar. Kontinuerliga funktioner kallas ofta av matematiker för "snälla" funktioner. De lärde tvistar för närvarande exempelvis om huruvida tiden är kontinuerlig eller uppträder i små diskreta paket. Denna dag kommer vi också att gå igenom derivator. Ve den som lämnar jordelivet (eller detta avsnitt) utan att kunna derivera en elementär funktion!

• 1.4 Då man infört gränsvärden är kontinuitet nästa steg. Att en funktion är kontinuerlig betyder att den har gränsvärden överallt och att dessa sammanfaller med funktionsvärdena. Läs igenom definition 4, 5, 6 och 7 samt sats 5,6, 7 och 8 och exempel 1-6.

Sats 8 är mycket viktig och är grunden i optimeringsproblem (max och min). Sats 9, "satsen om mellanliggande värden", används i tillämpningar för att finna rötter till ekvationer. Läs exempel 9-11.

• 2.1 I detta avsnitt förbereds derivatans införande genom en diskution av lutning (slope) och tangentlinjer till kurvor y = f(x). Det mesta bör vara bekant från gymnasiet, men, notera formeln för normalens lutning, s. 99.

Läs exempel 1-7

• 2.2 Definition av derivatan, s. 101. Du bör i enkla exempel kunna beräkna derivator utgående från definitionen.

Derivata av potenser (power rule), s. 104. (Den visas för heltal i avsnitt 2.3. Det generella fallet kräver logaritmer, kap. 3.) Observera Leibniz' beteckningar, s. 105. De gör många formler enklare och mer intuitiva. Läs exempel 1-5.

Övninsuppgifter:

• 1.4: 7 8 17 18 21 22 23 28.
• 2.1: 1 3 5 18.
• 2.2: 16 19 25 32. Lite svårare: 48 51.