Dag 12

Envariabelanalys

Nu ger vi oss in i ett nytt område, nämligen integration - ett område som inte ens våra folkvalda behärskar till fullo. Det är centralt i matematiken att man preciserar den exakta innebörden (den formella definitionen) av ett begrepp innan man börjar använda det, och vi kommer att göra detta för integraler idag. Integrering är den inversa operationen till derivering. Om $F'(x)=f(x)$ så är $F(x)$ den $\textit{primitiva funktionen}$ (antiderivatan) till funktionen $f(x)$, och vi skriver $F(x)=\int f(x)dx$. Integraler och derivator är intimt förknippade genom det som kallas för $\textit{Analysens Huvudsats}$: om $F'(x)=f(x)$ för $x\in[a,b]$ så gäller $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Vi inleder vårt studium med att betrakta ett område under en graf och försöka beräkna dess area genom att dela upp området i "oändligt många oändligt små" områden vars areor vi sedan summerar, och vi erhåller hela arean av det betraktade området under grafen som ett $\textit{gränsvärde}$ där antalet delområden går mot oändligheten (ordet "integral" betyder "helhet" (latin)). Denna metod behärskades redan under antiken, fast en stringent behandling av integralbegreppet gavs först på 1800-talet av Riemann.

Ett annat område i matematiken som rönt stort intresse bland våra folkvalda är 5.1-5.2 Här diskuteras areabegreppet och beräkning av areor genom gränsövergång. Man bör genomföra någon sådan beräkning för att till fullo uppskatta effektiviteten i den metod vi senare beräknar integraler med. Läs exempel 1-2 i 5.2.

5.3 Bestämda integraler införs genom över- och undersummor. Idén är att då indelningen blir finare skall, för "integrerbara" (def. 3) funktioner, dess över- och undersummor båda ha samma gränsvärde, integralen av funktionen. Sats 2, s. 316, visar att denna procedur fungerar för kontinuerliga funktioner. Läs exempel 2-4.

5.4 Här härleds diverse egenskaper till den bestämda integralen (Sats 3, s. 317-318). Integralkalkylens medelvärdessats (Sats 4, s. 320) kommer in i den oumbärliga Integralkalkylens fundamentalsats i nästa avsnitt. Läs exempel 1, 3.

5.5 Sats 5, Integralens fundamentalsats, är vad gör integralen till ett användbart verktyg, genom kopplingen till differentialkalkylen. Satsen visar att varje kontinuerlig funktion har en primitiv funktion. Läs exempel 2, 4, 7, 9.