Dag 13

Envariabelanalys

SUBSTITUTION OCH AREABERÄKNINGAR

I dag tittar vi på olika integrationstekniker. Sökandet efter den primitiva funktionen till en viss funktion kan ibland underlättas betydligt genom en lämplig variabelsubstitution. Det finns dock funktioner som saknar en elementär primitiv funktion, dvs den primitiva funktionen kan inte uttryckas med hjälp av de fyra räknesätten och en sammansättning av ett ändligt antal elementära funktioner, till exempel funktionen $e^{-x^2}$, som är mycket viktig inom sannolikhetsläran. Här finns det ingen lämplig substitution som fungerar, utan man måste ta till numeriska metoder. Minns den store von Goethes ord: $\textit{"Vår Herre har skapat nötterna, men han har inte knäckt dem."}$

5.6 Variabelsubstitution i integraler (Sats 6) innebär att man använder kedjeregeln baklänges och är en viktig metod. I samband med integrering av trigonometriska funktioner bör man bla känna till formlerna för dubbla vinkeln. Genom att göra tillräckligt många övningsuppgifter lär man sig snart att ganska snabbt att "se" vilken substitution som är lämplig. Och glöm inte att repetition är kunskapens moder! Läs exempel 3-9.

5.7 Beräkning av area mellan två kurvor. Man måste först bestämma kurvornas skärningspunkter och sedan kontrollera vilken av funktionerna som är störst i resp delintervall. Därefter beräknas integralen på vanligt sätt. Läs exempel 1-4.

Gör följande övningsuppgifter:

• 5.6: 3 7.
• 5.7: 1 7.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

• 5.6: 13.
• 5.7: 11 13 15 17.