Dag 19

Envariabelanalys

SERIER

Idag ska vi bland annat titta på hur man beräknar en summa av oändligt många tal. Kan man det, och kan en sådan summa ha ett ändligt värde som den konvergerar mot? Om en summa inte har ett ändligt värde säger man att den divergerar. Det verkar konstigt att kunna summera upp oändligt många tal till ett ändligt tal, och Zenon var en av de gamla grekerna som brydde sitt huvud med detta. Zenons paradox (som egentligen inte är någon paradox) lyder kort att om man ska förflytta sig från en punkt till en annan så måste man först gå halva vägen, därefter hälften av återstoden osv i all oändlighet. Hur kan man då någonsin komma fram, om det inte är så att det går att summera upp ett oändligt antal små steg till ett ändligt tal? Verkligheten säger oss att man ju kan gå från en punkt till en annan, men filosoferna fick aldrig rätsida på detta och som tur var kom matematikerna till undsättning och visad e(vilket alla icke-filosofer redan visste) att man kan ta sig från en punkt till en annan. Idag ska vi bevisa det! :-)

9.1 Serier och konvergens. Introduktion om konvergens av talföljder (sequences). Läs exempel 5-6.

9.2 Oändliga serier. Konvergens av en (oädlig) serie betyder att följden av dess partialsummor konvergerar. Den geometriska serien och resultaten om den är viktiga. Läs exempel 1. Ex. 4 skall man känna till: den harmoniska serien är divergent. Sats 4, s. 532, ger en test för divergens: om inte den allmänna termen an går mot noll så är serien divergent. Observera att omvändningen av denna sats är falsk: den harmoniska serien är divergent, men dess allmänna term går mot noll.