Dag 1

Envariabelanalys

Nu ska du ge dig ut på en spännande resa i analysens värld! Fundamentalt här är funktionsbegreppet. En funktion uttrycker ett (i positiv bemärkelse naturligtvis) beroende.

En funktion är populärt uttryckt en regel som till varje element x i mängden A ordnar precis ett element y i mängden B. Kanske kan ditt poängtal på den förestående tentan uttryckas som en funktion av antalet övningsuppgifter du gör i dessa läsanvisningar (där antalet uppgifter du gör är variabeln). Men säkerligen beror ditt poängtal på flera ingående faktorer/variabler - hur bra är kursboken, hur intresserad är du av matematik, hur snäll är läraren, hur lång tid har du på dig, och hur intresserad är du av att klara av tentan egentligen? Men då är vi inne på djupt vatten - nämligen flervariabelanalys. I denna kurs ägnar vi oss åt funktioner av en variabel.

• 1.1 Detta avsnitt är av orienterande och motiverande karaktär. Läs Exempel 1-3.

• 1.2-1.3 Gränsvärdesbegreppet är fundamentalt i kursen. Jämför den formella definitionen med den informella. Den idé som ligger bakom är inte svår. En funktion har ett gränsvärde i en punkt precis då dess vänster- och högergränsvärden i punkten existerar och är lika. Vid beräkning av gränsvärden används gränsvärdeslagarna på sidan 66. I 1.3 tittar vi på gränsvärden då variabeln går mot oändligheten, samt "oändliga gränsvärlden" (infinite limits)vilket egentligen är lite missvisande då oändligheten ju saknar gräns per definition, och därför kallar man dessa ibland för "oegentliga gränsvärden".

Läs följande exempel:

• 1.2: 1,3-9.
• 1.3: 1-10.

Gör följande övningsuppgifter:

• 1.2: 10 13 24 26 29 49 50 54 55 67
• 1.3: 1 4 6 8 11 13 14 26 31