Dag 4

Envariabelanalys

DERIVATOR AV TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER SAMT HÖGRE DERIVATOR

De trigonometriska funktionerna studerades redan under antiken och är mycket användbara för att beskriva periodiska förlopp. Här kommer vi att lära oss att derivera dessa funktioner. Vi kommer också att titta på högre ordningens derivator, exempelvis är ett objekts acceleration derivatan av dess hastigheten och därmed andraderivatan av dess läge med avseende på tiden, dvs en derivata av ordning två.

• 2.5 Med hjälp av gränsvärdet i Sats 8, s. 124, och en trigonometrisk identitet (Ex. 1), kan man härleda derivatan till sinusfunktionen. Trigonometriska formler ger, tillsammans med deriveringsreglerna, uttryck för derivatorna till cosinus-, tangens- och cotangensfunktionerna, som man också skall kunna.

Observera att derivatan av tangens kan skrivas (tan x)´= 1/cos2 x = 1 + tan2 x. Anm. I engelspråkig litteratur används ofta sekantfunktionerna sec x, osv. Vi kommer inte att göra detta. Läs exempel 1-5.

2.7 Det kan vara bra att skumma igenom detta avsnitt för att bekanta sig med några tillämpningar av derivatan.

2.8 Högre ordningens derivator införs på naturligt sätt. Tolkning och tillämpningar följer i senare avsnitt.