Dag 8

Envariabelanalys

GLOBAL OCH LOKAL EXTREMISM

samt den gyllene medelvärdessatsen

I vår iver att plöja vidare i matematikens snårskog hoppade vi innan över avsnitt 2.6. Det finns dock inga genvägar till sann insikt, och vi måste därför bläddra tillbaka några sidor för att lära oss ett klassiskt resultat som beundrats och hyllats av det församlade matematiska etablissemanget i hundratals år. En förståelse för matematiken i sig måste alltid föregå förståelsen av en matematiker som person, om ni nu skulle råka känna någon sådan.

2.6 Medelvärdessatsen (Sats 11) är mycket viktig. Satsens geometriska betydelse framgår av figur 2.25. Figur 2.26 på samma sida visar att man inte kan ändra på någon av satsens förutsättningar. Med hjälp av medelvärdessatsen kan man dra slutsatser om en funktions avtagande/växande om man vet derivatans tecken i ett intervall - detta faktum är det viktigaste ur tillämpningssynpunkt - se Sats 12. Rolles sats är ett specialfall av medelvärdessatsen och man kan använda den för att bevisa medelvärdessatsen, se figur 2.30. Läs hela detta avsnitt (Sats 16 ej obligatorisk).

4.2 Här behandlas globala och lokala extremvärden, kritiska punkter samt singulära punkter. Sats 1, s. 234 är max/min satsen från kap. 1 (s. 80). Sats 2 (s. 235) och Sats 3 (s. 236) är mycket viktiga. De ger en metod för att finna största och minsta värden till en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall. Läs exempel 1, 2, 3, 5.