Dag 11

Envariabelanalys

EXTREMVÄRDESPROBLEM OCH LINJÄRA APPROXIMATIONER

Idag kommer vi att lösa olika praktiska problem av min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som exempel 4 i avsnitt 4.5! Det finns också intressanta problem av min/max-typ inom andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget problem och lös!

Tangenten till en graf f i en given punkt a är den bästa $\textit{räta linje}$ som beskriver f:s uppförande i a. Där har tangentlinjen som bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och högerledet kallas $\textit{lineariseringen}$ av f kring a och utgör en $\textit{lineär approximation}$ av f för x-värden nära a. Vi har alltså approximerat f med ett förstagradspolynom och denna metod , som tas upp i 4.7, kan användas när f(a) och f'(a) är kända.

4.5 I avsnittet behandlas "ostrukturerade" max/min-problem där man själv måste formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom exempel 1-5.

4.7 Approximationer används då det är svårt att få fram det $\textit{exakta}$ funktionsvärdet i en punkt. Här kommer vi att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en viss punkt försöka finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten. Med linjär approximation avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje. Läs igenom hela detta avsnitt.

Övninsuppgifter:

• 4.5: 1 3 7 21.
• 4.7: 1 3 5 7 15.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

• 4.5: 11 19 37 40 41.
• 4.7: 11 13 17 31.