Dag 11

Envariabelanalys

EXTREMVÄRDESPROBLEM OCH LINJÄRA APPROXIMATIONER

Idag kommer vi bland annat att lösa olika praktiska problem av min/max-karaktär. Minns problemet med ölburken - här finner du det som exempel 4 i avsnitt 4.5. Det finns också intressanta tillämpningar inom andra viktiga områden som ekonomi och biologi mm. Hitta gärna på ett eget problem och lös!

Tangenten till en graf f i en given punkt a är den bästa $\textit{räta linje}$ som beskriver f:s uppförande i a. Där har tangentlinjen som bekant ekvationen $y(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ och högerledet kallas $\textit{lineariseringen}$ av f kring a och utgör en $\textit{lineär approximation}$ av f för x-värden nära a. Vi har alltså approximerat f med ett förstagradspolynom, och denna metod, som tas upp i 4.7, kan användas när f(a) och f'(a) är kända. Man kan erhålla ännu bättre approximationer av f(x) för x nära a genom att använda polynom av högre grad vars (högre ordningens) derivator sammanfaller med f:s derivator i punkten a (detta förutsätter givetvis att dessa derivator till f existerar i a). Dessa (optimala) polynom av högre grad som används för att approximera f nära en given punkt kallas Taylor polynom och ju högre gradtal man väljer desto bättre blir approximationen. Mer om detta i ett senare avsnitt. För allmänbildningens skull bör man också känna till att man kan approximera funktioner med trigonometriska funktioner - sk Fourieranalys.

4.5 I avsnittet behandlas "ostrukturerade" max/min-problem där man själv måste formulera problemen matematiskt och därefter lösa dem. Innan du börjar lösa uppgifterna till detta avsnitt är det lämpligt att du läser igenom exempel 1-5.

4.7 Approximationer används då det är svårt att få fram det $\textit{exakta}$ funktionsvärdet i en punkt. Med linjär approximation avses approximationen av en funktionsgraf med dess tangentlinje, dvs vi kommer att utifrån kunskap om värdet av en funktion och dess derivata i en viss punkt finna approximativa funktionsvärden i ett område nära punkten. Läs igenom hela detta avsnitt.

Övninsuppgifter:

• 4.5: 1 3 7 21.
• 4.7: 1 3 5 7 15.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

• 4.5: 11 19 37 40 41.
• 4.7: 11 13 17 31.