Dag 3

Envariabelanalys

DERIVERINGSREGLER

Differential- och integralkalkylen är en av mänskligens största bedrifter. Trots att presentationen här är ganska teknisk till sin natur med en notation som har sina rötter i 1600-talet och framåt (Newton och Leibniz) döljer sig bakom allt detta en lånvarig process av tankearbete som sträcker sig minst ända till antikens och Archimedes dagar 200 f.kr. Redan Archimedes kom nämligen på idén att skiva upp en kropp för att beräkna dess area och volym, även om detta ganska nyligen uppdagades och dokumenten hittades. Han är kanske mer känd för den sk "sandräknaren", här beskrivet i Nordisk Familjebok:

"Måhända för att hos sin vän, konung Gelon, och öfriga samtida väcka häpnad inför matematikens makt, behandlar han uppgiften att angifva ett tal större än antalet sandkorn, som skulle rymmas i en sfär med centrum i solens medelpunkt och hvars yta nådde fixstjärnorna. Efter en uppskattning af de kosmiska afstånd, hvarpå problemet grundas...löser Archimedes den rent aritmetiska delen af uppgiften genom en enkel period-indelning af de hela talen, hvilken tillåter honom att efter ett ringa antal trappsteg svinga sig upp till tal af den gigantiska storleksordning, som erfordras. Genom denna aritmetiska utflykt mot oändligheten...visar sig Archimedes såsom samme mästare på talets område som på geometriens."

På den tiden var det minsann roligt, men nu återgår vi till dagens avsnitt. Idag ska vi lära oss att derivera produkter och kvoter av funktioner vars derivator är kända, samt att derivera sammansatta funktioner med den sk kedjeregeln.

• 2.3 Sats 1 säger att deriverbarhet medför kontinuitet - kom ihåg detta! Deriveringsreglerna i Sats 2, 3 och 5 måste man behärska. Läs exempel 1-4.

• 2.4 Kedjeregeln (Sats 6) är en hörnsten i differentialkalkylen. Den är lätt att komma ihåg med Leibniz´ beteckningar. Läs exempel 1-4 i detta avsnitt.

Övninsuppgifter:

• 2.3: 7 9 11 13 19.
• 2.4: 1 5 11 13 23 25.

Om du har lust och tid över kan du göra följande övningsuppgifter som är snäppet svårare:

• 2.3: 29 31 33 37.
• 2.4: 35 45 46.