Dag 17

Envariabelanalys

TAYLORS FORMEL

Under dag 10 (avsnitt 4.7) har du redan fått en liten försmak av det vi ska syssla med idag. Idag ska vi generalisera lite, och det bör i samband med detta nämnas att medan det i andra sammanhang ses som negativt att generalisera, är detta något som faktiskt både är tillåtet och tillrådligt inom matematiken, och i matematiken kan man dessutom generalisera utan att dra förhastade slutsatser. Om man generaliserar sina resultat så att de täcker så många fall som möjligt så slipper man nämligen behandla alla specialfall, särfall och psykfall var för sig. Nu svingar vi oss upp från det linjära fallet till polynom av högre grader som till och med kan vara ännu högre än den grad som råder på solens yta. Fast då får ni räkna länge och väl...

4.8 Taylors formel - Sats 10 - är en generalisering av linjär approximation. Denna gång approximerar man $f$ med ett polynom $P_n$ av högre grad $n$. Detta polynom är valt så, att dess och dess derivators värden upp till ordning $n$ sammanfaller med $f$:s i den givna punkten. Vi kan skriva detta $f(x) = P_n(x) + E_n(x)$ där approximationen $P_n(x)$ och felet $E_n(x)$ är givna i satsen. Storleksordningen på restermen i en Taylorutveckling kan på ett bekvämt sätt beskrivas med hjälp av stort ordobegreppet (big-O, se Def. 9). I detta avsnitt ingår Sats 10, Definition 9 samt Exempel 1, 2, 4, 6 och 7.

Gör följande övningsuppgifter:

• 4.8: 3 5 7 21 23 25.

Om du har lust och tid över kan du även ägna dig åt följande uppgifter:

• 4.8: 2 4 6 8 22 24 26.