Dag 23

Envariabelanalys

GENERALISERADE INTEGRALER

Idag ska vi hoppa tillbaka några kapitel och titta på sk generaliserade integraler. Teorin för generaliserade integraler liknar teorin för serier, som vi ju nyss behandlat. Hittills har vi beräknat integraler där integranden är en begränsad funktion och vi hade då att göra med det som kallas bestämda integraler (proper integrals). Nu ska vi ge oss i kast med fallet där såväl integranden som integrationsintervallet kan vara oändligt och därmed ska vi generalisera integralbegreppet så som vi känner det sedan tidigare. Det bör för övrigt här nämnas, att medan det i andra sammanhang ses som negativt att generalisera, är detta något som faktiskt både är tillåtet och tillrådligt inom matematiken, och i matematiken kan man dessutom generalisera utan att dra förhastade slutsatser. Om man generaliserar sina resultat så att de täcker så många fall som möjligt så slipper man nämligen behandla alla specialfall, särfall och psykfall var för sig.

6.5 Generaliserade integraler. I detta avsnitt behandlas generaliserade integraler, uppdelade i Typ I och Typ II (Def. 1 och Def. 2), ty det är två olika saker man måste tänka på: dels kan integrationsintervallet vara obegränsat, dels kan integranden vara obegränsad i närheten av någon punkt. Läs Exempel 1-6. Sats 2 och Sats 3 är viktiga då man vill undersöka integralens konvergens. Läs Exempel 7-9.

Gör följande övningsuppgifter:

• 6.5: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 31 33 35.

Om du har tid och lust över kan du även göra följande uppgifter som är lite svårare:

• 6.5: 37 39 41 43.