Dag 12

Flervariabelanalys

[redigera] POLÄRA KOORDINATER OCH SUBSTITUTION

Nu börjar det kanske kännas rörigt med alla nya begrepp, och du drar dig säkert till minnes termodynamikens andra huvudsats, enligt vilken entropin (dvs måttet av oordning) i ett slutet fysikaliskt system ökar med tiden, men så är ju lyckligtvis inte din hjärna är ett slutet system utan öppet för allsköns nya intryck och matematiska influenser som vidgar dina vyer och därmed även de nätbaserade kursernas verksamhet och budget :-)

Ibland kan det vara lämpligt att gå över till sk polära koordinater för att kunna beräkna en dubbelintegral inom rimlig tid. Därför börjar vi dagen med att titta lite på vad polära koordinater är (avsnitt 8.5) och därefter fortsätter vi vår genomgång av dubbelintegraler och lämpliga substitutioner för att beräkna sådana.

• 8.5 Definition av polära koordinater. Läs bara fram till och med Exempel 2. I planet kan man identifiera en punkt genom att (istället för att ange de cartesiska x- och y-koordinaterna) ange avståndet $r$ från en fix punkt samt en vinkel $\theta$. Motsvarigheten i tre dimensioner, som vi inte ska gå in på här, kallas sfäriska koordinater och består av ett avstånd och två vinklar.

• 14.4 Substitution i dubbelintegraler. Här kommer vår nyvunna kunskap om polära koordinater till användning. Formeln för ett allmänt variabelbyte i en dubbelintegral (Sats 4) är viktig. Läs igenom hela detta avsnitt.

Gör följande övningsuppgifter:

• 8.5: 3 9 11.
• 14.4: 1 3 7 9 11 13 21.

Om du har lust och tid över kan du även göra följande övningsuppgifter:

• 14.4: 17 19 23 29.

Och om du vill ha en lite större utmaning kan du försöka ge dig på följande uppgifter:

• 14.4: 25 27 31 35 37.