Linjär

Lexikon

Inom matematiken används ofta linjär eller linear som en benämning för att någonting är "av första graden" eller också "rätlinjig".

För många matematiska operationer och objekt innebär begreppet linjär en mer strikt egenskap som går ut på att den linjära strukturen är bevarad vid en operation eller en transformation. Till exempel kallas en funktional $F$ linjär om det gäller att $F(af+bg)=aF(f)+bF(g)$ för alla tal $a$ och $b$ och för alla funktioner $f$ och $g$ som $F$ är definierad för.

Oftast kallas en vanlig funktion $f(x)$ som beror av en variabel $x$ kallas linjär om den kan skrivas $f(x)=kx+m$ där $k$ och $m$ är konstanter. Detta är något oegentligt och beror på att grafen till en sådan funktion är en rät linje i $x,y$-planet. Inom matematiken kallar man allmänt en sådan funktion en affin funktion. Utrycket som definierar funktionssambandet är här ett polynom av första graden.

Allmänt kallar man en funktion $f(x)$ som beror av en variabel $x$ (som kan vara en vektor) för linjär om det gäller att $f(ax + by)=af(x)+bf(y)$ för alla tal $a$ och $b$. Detta är likvärdigt med att följande två villkor är uppfyllda:

1) $f(ax)=af(x)$ för alla tal $a$

2) $f(x+y)=f(x) +f(y)$ för alla $x, y$

En differentialekvation kallas en linjär differentialekvation om den ges av ett polynom av första graden i den obekanta funktionen och dess derivator.

Linjär algebra handlar om teorin för linjära ekvationssystem, vektorrum, matriser och determinanter. Alla linjära ekvationssystem kan representeras med hjälp av matriser. Vektorrum är exempel på en modul över en ring, och teorin för linjär algebra gäller sådana moduler. Allmänt gäller att alla homomorfismer mellan ändligt genererade moduler kan representeras med hjälp av matriser.

Funktionalanalys kallas den del av matematisk analys där man studerar klasser av funktioner, där var och en av funktionerna uppfattas som en vektor i ett oändlig-dimensionellt vektorrum. En funktional är en avbildning som till varje funktion tillordnar ett tal. Ett exempel på en funktional är funktionalen $F(f)$ som till funktionen $f$ tillordnar talet

$F(f)=\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, dx}$.

Funktionalanalysen kan ses som en generalisering av teorin för linjär algebra.

Ordet "linjär" kommer från franskans linéaire och ursprungligen senlatinets linea´ris som betyder "hörande till linjer", och kommer av latinets linea som betyder "linje" eller "streck", av latinets li´num som betyder "lin", "garn", "tråd" eller "snöre".