Lösningar 12

Matematik för naturvetare 15hp

[redigera] Lösningar till några övningar till lektion 12

Tillbaka till lösningarna

5.10.

Vi har

För kontinuitet krävs att de två gränsvärdena är lika, vilket ger villkoret $a=0$.

5.12.

Funktionen är inte definierad för $x=-1$ eftersom nämnaren blir 0 där. Absolutbeloppstecknet får man hantera genom att dela upp i olika intervall. Vi har $x^2-1> 0$ fö $x>1$ och $x<-1$ och $x^2-1<0$ för $-1<x<1$. Funktionen kan därför skrivas

Eftersom $f$ inte är definierad för $x=-1$ så är detta en diskontinuitetspunkt och frågan är om den är hävbar, dvs om det går att definiera $f(-1)$ så att funktionen blir kontinuerlig. För detta krävs att vänster- och högergränsvärdena då $x\to -1$ är lika. Vi har

och

Då gränsvärdena är olika så är diskontinuiteten inte hävbar. Grafen finns i facit i boken.

5.14.b)

Vi har $y\to 0$ då $x\to±\infty$, så $x$-axeln (linjen $y=0$) är en vågrät asymptot. Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så är linjerna $x=±1$ lodräta asymptoter.

5.14.c)

Här gäller $y\to 1$ då $x\to±\infty$, så linjen $y=1$ är en vågrät asymptot. Nämnaren $x^2+1$ har inga (reella) nollställen, så lodräta asymptoter saknas.

5.14.d)

Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så skulle man kunna tro att linjerna $x=±1$ är lodräta asymptoter. Men vi har $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, så för $x\not=-1$ är $y=(x^2-x+1)/(x-1)$, varav framgår att det bara är $x=1$ som är lodrät asymptot. För $x=-1$ har funktionen en hävbar diskontinuitet. Någon vågrät asymptot finns inte, eftersom $y\to ±\infty$ då $x\to±\infty$.

5.14.e)

Ledning: Nämnarens nollställen är 2 och $-3$.

5.14.f)

Ledning: Nämnarens nollställen är 1 och 2.