Lösningar 9
Matematik för naturvetare 15hp
[redigera] Lösningar till några övningar till lektion 9
14.1.c)
Totalmatrisen är
och Gausselimination ger
Lösningen är x=0, y=1,z=-1/2
14.2.c)
Totalmatrisen är
och Gausselimination ger
Systemet är alltså ekvivalent med x+y-z=3, 3y-2z=3 och det går inte att eliminera längre än så. Inför en parameter t genom t ex z=3t. Då blir y=(3+2z)/3=1+2t och x=-y+z+3=2+t. Lösningen kan således skrivas (x,y,z)=(2+t, 1+2t,3t). Lägg märke till att man kan införa en parameter (här t) på många olika sätt. I bokens facit heter parametern s och det gäller s=-t. Anledningen till att vi väljer att sätta z=3t snarare än z=t är att vi får heltalskoefficienter då. Men det är ju helt och hållet en smakfråga om man vill ha det.
14.3.a)
Systemet är ekvivalent med
och här måste vi dela upp i två fall beroende på om a=1 eller a\not=1. Om a=1 så lyder den andra ekvationen 0=0. Om vi sätter z=t så blir y=-1+t och x=1-y-z=2-2t, där t\in{\bf R}. Om a\not=1, så kan vi dividera den andra ekvationen med a-1 och får y=1. Då blir z=2 och x=-2.
Svar:
Om a\not=1 så är lösningen (x,y,z)=(-2,1,2) och om a=1 så är den (x,y,z)=(2-2t,-1+t,t).
14.7.
För att en produkt AB skall vara definierad måste antalet kolonner i A vara lika med antalet rader i B. För att AA skall vara definierad måste A därför ha lika många rader som kolonner, dvs den måste vara kvadratisk.
14.10.a)
Som i Exempel 14.12 skall vi försöka lösa de två ekvationssystem som har totalmatriserna
Gausselimination ger
Vi ser att matrisen är inverterbar och att inversen är
14.10 d)
Gausselimination ger
Inversen är alltså