Loading jsMath...

Lösningar 9

Matematik för naturvetare 15hp

Hoppa till: navigering, sök

[redigera] Lösningar till några övningar till lektion 9

Tillbaka till lösningarna


14.1.c)

Totalmatrisen är

\left(\begin{matrix} 4 & 7 & -2\\ 3 & -4 & 4\\ -1 & 2 & 2 \end{matrix}\right.\left| \begin{matrix}8\\-6\\1\end{matrix}\right)

och Gausselimination ger

\begin{array}{ccccccc} &\left(\begin{array}{ccc} 4 & 7 & -2\\ 3 & -4 & 4\\ -1 & 2 & 2 \end{array}\right.\left| \begin{array}{c}     8\\     -6\\     1\end{array}\right) &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2\\ 3 & -4 & 4\\ 4 & 7 & -2 \end{array}\right.\left| \begin{array}{c}     1\\     -6\\     8\end{array}\right) \\ \\ \Leftrightarrow & \left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -2\\ 0 & 2 & 10\\ 0 & 15 & 6 \end{array}\right.\left| \begin{array}{c}     -1\\     -3\\     12\end{array}\right) &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -2\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 5 & 2 \end{array}\right.\left| \begin{array}{c}     -1\\     -3/2\\     4\end{array}\right) \\ \\     \Leftrightarrow & \left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -2\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & -23 \end{array}\right.\left| \begin{array}{c}     -1\\     -3/2\\     23/2\end{array}\right)      &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -2\\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right.\left| \begin{array}{c}     -1\\     -3/2\\     -1/2\end{array}\right) \\ \\ \Leftrightarrow & \left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right.\left| \begin{array}{c}     -2\\     1\\     -1/2\end{array}\right)     &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right.\left| \begin{array}{c}     0\\     1\\     -1/2\end{array}\right)   \end{array}


Lösningen är x=0, y=1,z=-1/2


14.2.c)

Totalmatrisen är

\begin{matrix} \left(\begin{matrix} -2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 2 &-1\end{matrix}\right.\left| \begin{matrix}-3 \\3 \\0\end{matrix}\right)\end{matrix}


och Gausselimination ger

\begin{array}{ccc} \left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 2 &-1\end{array}\right.\left| \begin{array}{c}-3 \\3 \\0\end{array}\right) &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\ -2 & 1 & 0\\ -1 & 2 &-1\end{array}\right.\left| \begin{array}{c}3 \\-3 \\0\end{array}\right)\\ \\ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\ 0 & 3 & -2\\ 0 & 3 & -2\end{array}\right.\left| \begin{array}{c}3 \\3 \\3\end{array}\right) &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\ 0 & 3 & -2\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right.\left| \begin{array}{c}3 \\3 \\0\end{array}\right)\end{array}

Systemet är alltså ekvivalent med x+y-z=3, 3y-2z=3 och det går inte att eliminera längre än så. Inför en parameter t genom t ex z=3t. Då blir y=(3+2z)/3=1+2t och x=-y+z+3=2+t. Lösningen kan således skrivas (x,y,z)=(2+t, 1+2t,3t). Lägg märke till att man kan införa en parameter (här t) på många olika sätt. I bokens facit heter parametern s och det gäller s=-t. Anledningen till att vi väljer att sätta z=3t snarare än z=t är att vi får heltalskoefficienter då. Men det är ju helt och hållet en smakfråga om man vill ha det.


14.3.a)

Systemet är ekvivalent med

\left\{\begin{array}{ccccccccc} x & + & y  & + & z & = & 1\\   &&(a-1)y&&&=& a-1\\   && y & - & z & = & -1\end{array}\right.

och här måste vi dela upp i två fall beroende på om a=1 eller a\not=1. Om a=1 så lyder den andra ekvationen 0=0. Om vi sätter z=t så blir y=-1+t och x=1-y-z=2-2t, där t\in{\bf R}. Om a\not=1, så kan vi dividera den andra ekvationen med a-1 och får y=1. Då blir z=2 och x=-2.


Svar:

Om a\not=1 så är lösningen (x,y,z)=(-2,1,2) och om a=1 så är den (x,y,z)=(2-2t,-1+t,t).


14.7.

För att en produkt AB skall vara definierad måste antalet kolonner i A vara lika med antalet rader i B. För att AA skall vara definierad måste A därför ha lika många rader som kolonner, dvs den måste vara kvadratisk.


14.10.a)

Som i Exempel 14.12 skall vi försöka lösa de två ekvationssystem som har totalmatriserna

\left(\begin{array}{cc} 1 & 4\\ 3 & 7\end{array}\right.\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)

Gausselimination ger

\begin{array}{cccc} &\left(\begin{array}{cc} 1 & 4\\ 3 & 7\end{array}\right.\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{cc} 1 & 4\\ 0 & -5\end{array}\right.\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -3 & 1\end{array}\right) \\  \\ \Leftrightarrow& \left(\begin{array}{cc} 1 & 4\\ 0 & 1\end{array}\right.\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 3/5 & -1/5\end{array}\right) &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right.\left|\begin{array}{cc} -7/5 & 4/5 \\ 3/5 & -1/5\end{array}\right)\end{array}

Vi ser att matrisen är inverterbar och att inversen är

\left(\begin{array}{cc} -7/5 & 4/5\\ 3/5 & -1/5\end{array}\right)


14.10 d)

Gausselimination ger

\begin{array}{ccccc} &&\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 3\end{array}\right.\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 3\end{array}\right.\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \\ &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right.\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{array}\right) &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right.\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 3 & -3 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \end{array}\right)\\ \\ &\Leftrightarrow& \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right.\left| \begin{array}{ccc} -5 & 6 & 2 \\ 3 & -3 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \end{array}\right)&& \end{array}


Inversen är alltså

\left(\begin{array}{ccc} -5 & 6 & 2 \\ 3 & -3 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \end{array}\right)

Personliga verktyg