Lektion 7

Matematik för naturvetare 15hp

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

[redigera] Välkommen till Lektion 7!

Tillbaka till läsanvisningarna

I den här lektionen ska vi studera de användbara trigonometriska funkionerna och dess egenskaper.

Du ska studera följande kapitel i boken:

4.5 Trigonometriska funktioner
4.6 Trigonometriska formler
4.7 Arcusfunktioner

Viktiga saker att tänka på när du läser

Studera noggrant definitionen av sin, cos och tan på sid 121-122. Även figuren 4.16 tål att begrundas. Den förklarar en del samband som står i Sats 4.1. Funktionernas grafer är det också viktigt att man är väl förtrogen med (fig 4.17 och 4.18). Observera att sinus och cosinus har perioden $2\pi$ medan tangens har perioden $\pi$. Cosinuskurvan får man genom att flytta sinuskurvan $\pi/2$ steg åt vänster.

Det finns en enorm mängd trigonometriska formler och samband och man skall naturligtvis inte försöka lära sig dem alla utantill. Det är klart att man vid behov kan slå upp dem i en formelsamling (se Appendix A), men ännu bättre är att lära sig en av formlerna och kunna härleda de övriga när man har behov av dem. Praktiskt taget alla formler kan härledas ur en enda, nämligen (den ena av de två formlerna A18 i Appendix A)

$ \cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.$

För att göra framställningen något sånär fullständig följer här ett bevis, som du kan läsa om du vill, men det ingår inte i kursen. Vi behöver till att börja med den s k avståndsformeln i planet, som inte är något annat än Pythagoras sats: avståndet mellan punkterna $(x_{1},y_{1})$ och $(x_{2},y_{2})$ är

$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}$

Bevis: Kateterna i den rätvinkliga triangeln är $|x_{2}-x_{1}|$ och $|y_{2}-y_{1}|$ (lägg märke till absolutbeloppstecknen!), så Pythagoras sats ger att hypotenusans längd är

$\sqrt{|x_{2}-x_{1}|^{2} + |y_{2}-y_{1}|^{2}} = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$

att beloppstecknen försvinner beror på att $(±a)^2=a^2$.

Låt nu $u$ och $v$ vara två vinklar och $P=(\cos u,\sin u), \quad Q=(\cos v,\sin v)$motsvarande punkter på enhetscirkeln (se den vänstra figuren nedan). Beteckna avståndet mellan dem med $d$; enligt avståndsformeln är

$d^2=(\cos u-\cos v)^2+(\sin u-\sin v)^2$

$\quad = \cos^2u-2\cos u\cos v+\cos^2v+\sin^2u-2\sin u\sin v+\sin^2v$

$\quad = 2-2(\cos u\cos v+\sin u\sin v)$

eftersom $\cos^2u+\sin^2u=\cos^2v+\sin^2v=1$.

I figuren till höger har vi vridit triangeln $\triangle OQP$ ($O$ är origo) så att $Q$ hamnar i $Q'=(1,0)$. Då är $\wedge Q'OP'=u-v$, så $P'$ har koordinaterna $(\cos (u-v),\sin (u-v))$. Vi får nu ett annat uttryck för avståndet $d$, nämligen som avståndet mellan $(1,0)$ och $(\cos (u-v),\sin (u-v))$, dvs

$ d^2 = (1-\cos (u-v))^2+(0-\sin (u-v))^2$

$\quad = 1-2\cos (u-v)+\cos^2(u-v)+\sin^2(u-v)$

$\quad = 2-2\cos(u-v).$

(Vi kunde också använt cosinussatsen, se Övning 4.22, på triangeln $\triangle OQP$ för att direkt få att $d^2 = 2-2\cos(u-v)$)

Om vi jämför de två uttrycken för $d^2$ så får vi den sökta formeln.

Från formeln

$\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.$

kan man härleda alla andra trigonometriska formler. Om vi byter $v$ mot $-v$ så får vi

$ \cos(u+v)=\cos u\cos (-v)+\sin u\sin (-v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v $

eftersom

$\cos (-v)=\cos v, \quad \sin (-v)=-\sin v.$

Vi får vidare :

$ \sin(u+v) = \cos(\pi/2-(u+v))=\cos((\pi/2-u)-v)$

$\quad \quad = \cos (\pi/2-u)\cos v+\sin(\pi/2-u)\sin v = \sin u\cos v+\cos u\sin v $

och på samma sätt

$\sin(u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$.

Om man i additionsformlerna sätter $u=v$ så får man formlerna för dubbla vinkeln:

$\cos 2u=\cos^2u-\sin^2u$ respektive $\sin 2u=2\sin u\cos u.$

Om vi använder den trigonometriska ettan så kan vi också skriva

$\cos 2u=2\cos^2u-1=1-2\sin^2u.$

De här formlerna ger i sin tur

$\cos^2 u=\frac{1+\cos 2u}{2},\quad \sin^2 u=\frac{1-\cos 2u}{2},$

och sätter vi här $v=2u$ så får vi formlerna för halva vinkeln:

$ \cos^2\frac{v}{2}=\frac{1+\cos v}{2}$ samt $\sin^2\frac{v}{2}=\frac{1-\cos v}{2}.$

Man kan använda alla de här sambanden för att räkna ut fler exakta värden av sinus och cosinus. För vårt vidkommande är detta dock mindre viktigt, formlerna kommer vi mest att använda i samband med integration av trigonometriska funktioner.

Lösningen i Exempel 4.28 är lite bakvänd; för att visa formeln är det lättare att börja med högerledet:

$ \cos (x-y)-\cos (x+y) = \cos x\cos y+\sin x\sin y-(\cos x\cos y-\sin x\sin y)$

$ = \cos x\cos y+\sin x\sin y-\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$= 2\sin x\sin y.$

De trigonometriska ekvationerna i Exempel 4.29 och 4.30. liksom i några av övningarna (4.28, 4.30) är väldigt artificiella och har som enda syfte att ge träning i att använda de trigonometriska funktionerna och sambanden.

Avsnitt 4.7

Ordet "arcus" är latin och betyder båge (jfr arc på engelska). Namnet arcusfunktioner kommer av att om $\sin x=a$, så är $x=\arcsin a$ längden av motsvarande båge på enhetscirkeln (enligt definitionen av radian och sinus). De viktigaste är arcsin, arccos och arctan. Det gäller att arcsin är invers till sinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är sinusfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 134). På samma sätt är arccos invers till cosinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[0,\pi]$. På det intervallet är cosinusfunktionen strängt avtagande och har alltså en invers (se sid 134-135). Slutligen gäller att arctan är invers till tangensfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är tangensfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 136). Detta kan också uttryckas mer formellt på följande sätt

$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$

$ a=\cos x\ \text{ och } \ 0\le x\le \pi\ \Leftrightarrow\ x=\arccos a$

$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a$

Det kan också vara en fördel att lära sig uttala detta med ord (i analogi med hur man uttalar innebörden i "n:e roten ur a" och "a-logaritmen för b", se lektion 3):

"arcsin a är den vinkel mellan minus pi halva och pi halva som uppfyller att dess sinus är a"

"arccos a är den vinkel mellan noll och pi som uppfyller att dess cosinus är a"

"arctan a är den vinkel mellan minus pi halva och pi halva som uppfyller att dess tangens är a"

Med hjälp av dessa funktioner kan man uttrycka lösningarna till trigonometriska ekvationer, se Exempel 4.18 - 4.20 och 4.32:

$$\sin x=a,\ a\in[-1,1]\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a+n\cdot 2\pi\ \ eller\ \ x=\pi -\arcsin a+n\cdot 2\pi$$

$$\cos x=a,\ a\in[-1,1]\ \Leftrightarrow\ x=\arccos a+n\cdot 2\pi\ \ eller\ \ x=-\arccos a+n\cdot 2\pi$$

$$\tan x=a,\ a\in\mathbf R\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\arctan a+n\cdot \pi$$

Observera att $\sin(\arcsin a)=a$ för alla $a\in[-1,1]$. Det följer av definitionen ovan av arcsin a som den vinkel ... vars sinus är a. Å andra sidan gäller $\arcsin(\sin b)=b$ endast för vinklar b mellan minus pi halva och pi halva (det följer också av definitionen av arcsin). Om vinkeln b inte ligger i intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$ så är $\arcsin(\sin b)$ den entydigt bestämda vinkel a mellan minus pi halva och pi halva som uppfyller att $\sin a=\sin b$.

Motsvarande gäller för cos och tan, se Exempel 4.35 och 4.36 och Testproblem 13.

Lämpliga övningsuppgifter till Lektion 7

Välj bland följande uppgifter i boken: 4.17-4.18, 4.20, 4.22-4.28, 4.30, 4.31 samt 4.33-4.35.

Tillbaka till läsanvisningarna

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/mm1001_0701/index.php/Lektion_7

 ==Välkommen till Lektion 7!==
+[[Läsanvisningar | Tillbaka till läsanvisningarna]]
 I den här lektionen ska vi studera de användbara trigonometriska funkionerna och dess egenskaper.
 '''Viktiga saker att tänka på när du läser'''
+Studera noggrant definitionen av sin, cos och tan på sid 121-122. Även figuren 4.16 tål att begrundas. Den förklarar en del samband som står i Sats 4.1.  Funktionernas grafer är det också viktigt att man är väl förtrogen med (fig 4.17 och 4.18). Observera att sinus och cosinus har perioden $2\pi$ medan tangens har perioden $\pi$. Cosinuskurvan får man genom att flytta sinuskurvan $\pi/2$ steg åt vänster.
 Det finns en enorm mängd trigonometriska formler och samband och man
-skall naturligtvis inte försöka lära sig dem utantill. Det är klart
+skall naturligtvis inte försöka lära sig dem alla utantill. Det är klart
-att man vid behov kan slå upp dem i sin formelsamling, men ännu bättre
+att man vid behov kan slå upp dem i en formelsamling (se Appendix A), men ännu bättre
 är att lära sig ''en'' av formlerna och kunna härleda de övriga när man har
 behov av dem. Praktiskt taget alla formler kan
-härledas ur en enda, nämligen
+härledas ur en enda, nämligen (den ena av de två formlerna A18 i Appendix A)
-<math> \cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.</math>
+$ \cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.$
 För att göra framställningen något sånär fullständig följer här ett
-bevis, som du kan läsa om du vill, men det ingår (som vanligt) inte i kursen. Vi
+bevis, som du kan läsa om du vill, men det ingår inte i kursen. Vi
 behöver till att börja med den s k ''avståndsformeln'' i planet, som
 inte är något annat än Pythagoras sats: avståndet mellan punkterna
 $(x_{1},y_{1})$ och $(x_{2},y_{2})$ är
-<math> \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}.</math>
+<math> \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}</math>
 ''Bevis:'' Kateterna i den rätvinkliga triangeln är $|x_{2}-x_{1}|$
-Vi repeterar definitionen av de trigonometriska funktionerna sinus och
-cosinus: Låt $u$ vara en vinkel och placera den med spetsen i origo
-och ett ben längs positiva $x$-axeln och så att det andra benet nås
-genom att man går i positiv led (det matematiska sättet att säga ''moturs'' eller ''motsols'').
-Det andra vinkel benet skär enhetscirkeln (dvs den cirkel som har sin medelpunkt i origo $(0,0)$
-och radie 1.) i en punkt $P$ och talen $\cos u, \quad \sin u$
-definieras som $P$:s koordinater, dvs <math>P=(\cos u,\sin u).</math>
-[[Bild: Fig2dag10.jpg]]
 $\quad = 2-2\cos(u-v).$
+(Vi kunde också använt cosinussatsen, se Övning 4.22, på triangeln $\triangle OQP$ för att direkt få att $d^2 = 2-2\cos(u-v)$)
+Om vi jämför de två uttrycken för $d^2$ så får vi den sökta formeln.
-Om vi jämför de två uttrycken för $d^2$ så får vi den sökta formeln.
 Från formeln
-<math>\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.</math>
+$\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.$
 kan man härleda alla andra trigonometriska formler. Om vi byter $v$ mot $-v$ så får
 vinkeln'':
-<math>\cos 2u=\cos^2u-\sin^2u</math> respektive <math>\sin 2u=2\sin u\cos u.</math>
+$\cos 2u=\cos^2u-\sin^2u$ respektive $\sin 2u=2\sin u\cos u.$
 Om vi använder den trigonometriska ettan så kan vi också skriva
 och sätter vi här $v=2u$ så får vi ''formlerna för halva vinkeln:''
-<math> \cos^2\frac{v}{2}=\frac{1+\cos v}{2}</math> samt <math>\sin^2\frac{v}{2}=\frac{1-\cos v}{2}.</math>
+$ \cos^2\frac{v}{2}=\frac{1+\cos v}{2}$ samt $\sin^2\frac{v}{2}=\frac{1-\cos v}{2}.$
 Man kan använda alla de här sambanden för att räkna ut fler exakta
-Exempel 4.28 är lite bakvänt; för att visa formeln är det självklart
+Lösningen i Exempel 4.28 är lite bakvänd; för att visa formeln är det
-lättast att börja med högerledet:
+lättare att börja med högerledet:
 $ \cos (x-y)-\cos (x+y) = \cos x\cos y+\sin x\sin y-(\cos x\cos y-\sin x\sin y)$
-$\quad \quad \quad = \cos x\cos y+\sin x\sin y-\cos x\cos y+\sin x\sin y$
+:: $ = \cos x\cos y+\sin x\sin y-\cos x\cos y+\sin x\sin y$
-$\quad \quad \quad = 2\sin x\sin y.$
+:: $= 2\sin x\sin y.$
 enda syfte att ge träning i att använda de trigonometriska funktionerna
 och sambanden.
 '''Avsnitt 4.7'''
 Ordet "arcus" är latin och betyder båge (jfr arc på engelska). Namnet
-''arcusfunktioner'' kommer av att om $\sin x=a$, så Šr $x=\arcsin a$
+''arcusfunktioner'' kommer av att om $\sin x=a$, så är $x=\arcsin a$
 längden av motsvarande båge på enhetscirkeln (enligt definitionen av
-radian och sinus). Ett annat namn är ''cyklometriska''
+radian och sinus). De viktigaste är arcsin, arccos
-(cirkelmätning på grekiska) funktioner. De två viktigaste är arcsin
+och arctan. Det gäller att arcsin är invers till sinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är sinusfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 134). På samma sätt är arccos invers till cosinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[0,\pi]$. På det intervallet är cosinusfunktionen strängt avtagande och har alltså en invers (se sid 134-135). Slutligen gäller att arctan är invers till tangensfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är tangensfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 136). Detta kan också uttryckas mer formellt på följande sätt
-och arctan. Kom ihåg att
+$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$
+$ a=\cos x\ \text{ och } \ 0\le x\le \pi\ \Leftrightarrow\ x=\arccos a$
+$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\  x=\arctan a$
+Det kan också vara en fördel att lära sig uttala detta med ord (i analogi med hur man uttalar innebörden i "n:e roten ur a" och "a-logaritmen för b", se lektion 3):
+"arcsin a är den vinkel mellan minus pi halva och pi halva som uppfyller att dess sinus är a"
+"arccos a är den vinkel mellan noll och pi  som uppfyller att dess cosinus är a"
+"arctan a är den vinkel mellan minus pi halva och pi halva som uppfyller att dess tangens är a"
+Med hjälp av dessa funktioner kan man uttrycka lösningarna till trigonometriska ekvationer, se Exempel 4.18 - 4.20 och 4.32:
+$$\sin x=a,\ a\in[-1,1]\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a+n\cdot 2\pi\ \ eller\ \ x=\pi -\arcsin a+n\cdot 2\pi$$
+$$\cos x=a,\ a\in[-1,1]\ \Leftrightarrow\ x=\arccos a+n\cdot 2\pi\ \ eller\ \ x=-\arccos a+n\cdot 2\pi$$
+$$\tan x=a,\ a\in\mathbf R\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\arctan a+n\cdot \pi$$
-<math> a=\sin x \Leftrightarrow  x=\arcsin a\ </math> och <math>\ -\pi/2\le x\le \pi/2</math>
-<math> a=\tan x \Leftrightarrow  x=\arctan a\ </math> och <math>\ -\pi/2< x< \pi/2 </math>
-Observera också att man inte kan säga att man genom att skriva
-$x=\arcsin a$ har "löst" ekvationen $a=\sin x$; det enda man har gjort är
-att ''införa en beteckning'' för lösningen.
+Observera att $\sin(\arcsin a)=a$ för alla $a\in[-1,1]$. Det följer av definitionen ovan av arcsin a som den vinkel ... vars sinus är a. Å andra sidan gäller $\arcsin(\sin b)=b$ endast för vinklar b mellan minus pi halva och pi halva (det följer också av definitionen av arcsin). Om vinkeln b inte ligger i intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$ så är  $\arcsin(\sin b)$ den entydigt bestämda vinkel a mellan minus pi halva och pi halva  som uppfyller att $\sin a=\sin b$.
-Studera Exempel 4.35 noga.
+Motsvarande gäller för cos och tan, se Exempel 4.35 och 4.36 och Testproblem 13.

Lektion 7

Matematik för naturvetare 15hp

Nuvarande version

[redigera] Välkommen till Lektion 7!

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda