Lektion 8

Matematik för naturvetare 15hp

(Skillnad mellan versioner)

Versionen från 7 september 2007 kl. 11.43

Välkommen till Lektion 8!

I den här lektionen ska vi lära oss vad komplexa tal är för något och hur man räknar med dem och olika sätt att representera dem

Du ska studera följande kapitel i boken:

1.9 De komplexa talen
13.7 Lite mer om komplexa tal

Viktiga saker att tänka på när du läser

Avsnitt 1.9

Lägg märke till att om $z=a+ib$, så är det talet $b$ som är imaginärdelen, alltså inte $ib$. Både real- och imaginärdelarna av $z$ är reella tal. Observera också att absolutbeloppet är $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, inte $\sqrt{a^2+(ib)^2}$. Om $b=0$ så är $z=a$ ett reellt tal med absolutbelopp $|z|=\sqrt{a^2}=|a|$, där det sista ledet är det vanliga reella absolutbeloppet. För reella tal överensstämmer således det komplexa absolutbeloppet med det reella.

Med hjälp av Pythagoras sats så ser vi att $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$ är avståndet från origo till punkten $a+ib$ (se längst ned på sid 49).

Addition, subtraktion och multiplikation av komplexa tal går till så att man "räknar som vanligt" men kommer ihåg att $i^2=-1$. Det betyder t.ex. att produkten av $a+ib$ och $c+id$ är

$$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$$

Tillämpar man detta på produkten $z\cdot \overline z$ där $z=a+ib$ så får man $z\cdot \overline z=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=|z|^2$ (se längst ned på sid 49).

I Exempel 1.31 drar man kvadratroten ur ett negativt tal $\sqrt{-16}=±4i$. Normalt brukar man dock reservera beteckningen $\sqrt a$ för reella tal $a\ge 0$, annars är det lätt hänt att beteckningarna leder en vilse:

$1=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=i\cdot i=-1$

Var är felet?

Konjugering och absolutbelopp har vissa viktiga egenskaper som man ofta har användning av, men som inte diskuteras i avsnittet (se dock övning 1.47). Vi skall göra det här istället. Låt $z=a+ib$ vara ett komplext tal; dess konjugat är $\overline{z}=a-ib$, så

$$ z\cdot\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib^2)=a^2+b^2=|z|^2$$

Låt $w=c+id$ vara ett annat komplext tal. Då är

$\overline{z+w}=\overline{(a+c)+i(b+d)}=(a+c)-i(b+d)=(a-ib)+(c-id)= \overline{z}+\overline{w}$

dvs konjugatet av en summa är lika med summan av konjugaten (se övning 1.47 a).

Motsvarande gäller för produkter:

$$ zw=(a+ib)(c+id)=ac-bd+i(ad+bc),\quad\mbox{så att}\quad \overline{zw}=ac-bd-i(ad+bc)$$

Vidare är

$$ \overline{z}\cdot\overline{w}=(a-ib)(c-id)=ac-bd-i(ad+bc)$$

Alltså gäller (övning 1.47 b)

$$ \overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}$$

Av detta följer vidare

$$ |zw|^2=(zw)\cdot \overline{zw}=z\cdot w\cdot\overline{z}\cdot \overline{w}= (z\cdot\overline{z})\cdot (w\cdot\overline{w})=|z|^2\cdot |w|^2=(|z|\cdot |w|)^2$$

och drar vi kvadratroten ur båda ytterleden så får vi

$$ |zw|=|z|\cdot |w|$$

Däremot skall man komma ihåg att $|z+w|$ i allmänhet inte är lika med $|z|+|w|$, utan bara att det gäller

$$ |z+w|\le |z|+|w|$$

vilket kallas triangelolikheten eftersom det kan tolkas som att längden av en sida i en triangel altid är mindre än summan av de övriga två. Beviset hoppar vi över.

Avsnitt 13.7

Lämpliga övningsuppgifter till Lektion 8

Välj bland följande uppgifter i boken: 1.44 - 1.47, 13.21 - 13.23

Tillbaka till läsanvisningarna

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/mm1001_0701/index.php/Lektion_8

Lektion 8

Matematik för naturvetare 15hp

Versionen från 7 september 2007 kl. 11.43

Välkommen till Lektion 8!

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

-==Välkommen till Lektion #!==
+==Välkommen till Lektion 8!==
-I den här lektionen...
+[[Läsanvisningar | Tillbaka till läsanvisningarna]]
+I den här lektionen ska vi lära oss vad komplexa tal är för något och hur man räknar med dem och olika sätt att representera dem
 Du ska studera följande kapitel i boken:
-*
+* 1.9 De komplexa talen
+* 13.7 Lite mer om komplexa tal
 '''Viktiga saker att tänka på när du läser'''
+'''Avsnitt 1.9'''
+Lägg märke till att om $z=a+ib$, så är det talet $b$ som är
+imaginärdelen, alltså inte $ib$. Både real- och imaginärdelarna av
+$z$ är reella tal. Observera också att absolutbeloppet är
+$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, inte $\sqrt{a^2+(ib)^2}$. Om $b=0$ så är $z=a$
+ett reellt tal med absolutbelopp $|z|=\sqrt{a^2}=|a|$, där det sista
+ledet är det vanliga ''reella'' absolutbeloppet. ''För reella tal
+överensstämmer således det komplexa absolutbeloppet med det reella.''
+Med hjälp av Pythagoras sats så ser vi att $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$ är avståndet från origo till punkten $a+ib$ (se längst ned på sid 49).
+Addition, subtraktion och multiplikation av komplexa tal går till så att man "räknar som vanligt" men kommer ihåg att $i^2=-1$. Det betyder t.ex. att produkten av $a+ib$ och $c+id$ är
+$$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$$
+Tillämpar man detta på produkten $z\cdot \overline z$ där $z=a+ib$ så får man $z\cdot \overline z=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=|z|^2$ (se längst ned på sid 49).
+I Exempel 1.31 drar man kvadratroten ur ett negativt tal
+$\sqrt{-16}=±4i$. Normalt brukar man dock reservera beteckningen $\sqrt a$
+för reella tal $a\ge 0$, annars är det lätt hänt att beteckningarna
+leder en vilse:
+<math>
+=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=i\cdot
+i=-1</math>
+Var är felet?
+Konjugering och absolutbelopp har vissa viktiga egenskaper som man
+ofta har användning av, men som inte diskuteras i avsnittet (se dock övning 1.47). Vi skall
+göra det här istället. Låt $z=a+ib$ vara ett komplext tal; dess
+konjugat är $\overline{z}=a-ib$, så
+$$
+z\cdot\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib^2)=a^2+b^2=|z|^2$$
+Låt $w=c+id$ vara ett annat komplext tal. Då är
+<math>
+\overline{z+w}=\overline{(a+c)+i(b+d)}=(a+c)-i(b+d)=(a-ib)+(c-id)=
+\overline{z}+\overline{w}</math>
+dvs ''konjugatet av en summa är lika med summan av konjugaten'' (se övning 1.47 a).
+Motsvarande gäller för produkter:
+$$
+zw=(a+ib)(c+id)=ac-bd+i(ad+bc),\quad\mbox{så att}\quad
+\overline{zw}=ac-bd-i(ad+bc)$$
+Vidare är
+$$
+\overline{z}\cdot\overline{w}=(a-ib)(c-id)=ac-bd-i(ad+bc)$$
+Alltså gäller (övning 1.47 b)
+$$
+\overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}$$
+Av detta följer vidare
+$$
+|zw|^2=(zw)\cdot \overline{zw}=z\cdot w\cdot\overline{z}\cdot \overline{w}=
+(z\cdot\overline{z})\cdot (w\cdot\overline{w})=|z|^2\cdot |w|^2=(|z|\cdot |w|)^2$$
+och drar vi kvadratroten ur båda ytterleden så får vi
+$$
+|zw|=|z|\cdot |w|$$
+Däremot skall man komma ihåg att $|z+w|$ i allmänhet inte är lika
+med $|z|+|w|$, utan bara att det gäller
+$$
+|z+w|\le |z|+|w|$$
+vilket kallas ''triangelolikheten'' eftersom det kan tolkas som att längden av en sida i en triangel altid är mindre än summan av de övriga två. Beviset hoppar vi över.
+'''Avsnitt 13.7'''
-'''Lämpliga övningsuppgifter till Lektion #'''
+'''Lämpliga övningsuppgifter till Lektion 8'''
-Välj bland följande uppgifter i boken:
+Välj bland följande uppgifter i boken: 1.44 - 1.47, 13.21 - 13.23
 [[Läsanvisningar | Tillbaka till läsanvisningarna]]