Lösningar 19

Matematik för naturvetare 15hp

(Skillnad mellan versioner)

Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.21

Lösningar till några övningar till lektion 19

11.1.Att bestämma partialbråksuppdelningar utan ansats är förstås tramsigt eftersom man i praktiken alltid använder olika ansatser. Lös därför övningen hur du vill!

a. $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{x+1}{x(x+1)}-\frac{x}{x(x+1)}= \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$

b. $\begin{array}{lll} \frac{1}{x^2(x-1)}&=&\frac{x^2-(x^2-x)-(x-1)}{x^2(x-1)}= \frac{x^2}{x^2(x-1)}-\frac{x(x-1)}{x^2(x-1)}-\frac{x-1}{x^2(x-1)}\\ &=& \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\end{array}$

c. $\frac{1}{x(4x^2+1)}=\frac{4x^2+1-4x^2}{x(4x^2+1)}= \frac{4x^2+1}{x(4x^2+1)}-\frac{4x^2}{x(4x^2+1)}= \frac{1}{x}-\frac{4x}{4x^2+1}$

11.2.a. $\int\frac{dx}{x(x+1)}=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\, dx= \ln |x|-\ln|x+1|+C=\ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+C$

b. $\int\frac{dx}{x^2(x-1)}=\int\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\, dx= \ln|x-1|-\ln |x|+\frac{1}{x}+C$

c. $\begin{array}{lll} \int\frac{dx}{x(4x^2+1)}&=&\int\left(\frac{1}{x}-\frac{4x}{4x^2+1}\right)\, dx= \ln|x|-\frac{1}{2}\int\frac{8x}{4x^2+1}\, dx\\ &=& \ln |x|-\frac{1}{2}\ln|4x^2+1|+C=\ln\frac{|x|}{\sqrt{4x^2+1}}+C\end{array}$

11.6.a.Vi har $9-x^2=(3+x)(3-x)$ så uppdelningen har utseendet $\frac{3}{9-x^2}=\frac{A}{3+x}+\frac{B}{3-x}.$ Vi gör liknämnigt: $\frac{A}{3+x}+\frac{B}{3-x}=\frac{B(3+x)+A(3-x)}{(3+x)(3-x)}= \frac{(-A+B)x+3(A+B)}{9-x^2}$ Detta ger ekvationssystemet $\left\{\begin{array}{cccc} -A+B&=&0\\ A+B&=&1\end{array}\right.$ som har lösningen $A=B=1/2$. Partialbråksuppdelningen är således $\frac{3}{9-x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3-x}\right).$

11.6.b)

Vi faktoriserar nämnaren genom att bestämma dess nollställen:

$6x-x^2-5=0\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\Leftrightarrow x=3±\sqrt{9-5}=3±2$

Nollställena är $x=1$ och $x=5$, så

$6 x - x 2 - 5 = - (x - 1)(x - 5) = (1 - x)(x - 5).$

Partialbråksuppdelningen har utseendet

$\frac{1}{6x-x^2-5}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{x-5}$

och gör vi liknämnigt så får vi

$\frac{A}{1-x}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(1-x)}{(1-x)(x-5)}= \frac{(A-B)x-5A+B}{6x-x^2+5}.$

Alltså måste

$\left\{\begin{array}{ccc} A-B&=&0\\ -5A+B&=&1\end{array}\right. \Leftrightarrow A=B=-\frac{1}{4}.$

Detta ger

$\frac{1}{6x-x^2-5}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x-5}\right).$

c.Nämnaren har faktoriseringen $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, där andragradsfaktorn inte har några reella nollställen (och således inte går att faktorisera vidare). Partialbråksuppdelningen har utseendet $\frac{1}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}.$ Vi gör liknämnigt i HL: $\begin{array}{lll} \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}&=& \frac{A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\ &=& \frac{(A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C}{x^3-1}.\end{array}$ Detta ger ekvationsystemet $\left\{\begin{array}{cccccccccc} A&+&B&&&=&0\\ A&-&B&+&C&=&0\\ A&&&-&C&=&1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cccc} A&=&1/3\\ B&=&-1/3\\ C&=&-2/3\end{array}\right.$ och vi får till sist $\frac{1}{x^3-1}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{x+2}{x^2+x+1}\right).$

11.7.a. $\int\frac{3}{9-x^2}\, dx=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{3+x}-\frac{1}{x-3}\right)\, dx= \frac{1}{2}\left(\ln|x+3|-\ln|x-3|\right)+C$

b. $\begin{array}{lll} \int\frac{dx}{6x-x^2-5}&=&\frac{1}{4}\int\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-5}\right)\, dx\\ &=& \frac{1}{4}\left(\ln|x-1|-\ln|x-5|\right)+C\end{array}$

c.Vi skriver den andra termen i parentesen som $\frac{x+2}{x^2+x+1}=\frac{1}{2}\left( \frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{3}{x^2+x+1}\right).$ Här har den första termen utseendet $f'(x)/f(x)$, där $f(x)=x^2+x+1$. En primitiv funktion är således $\ln|f(x)|=\ln(x^2+x+1)$ (observera att $x^2+x+1>0$ för alla $x$). För att integrera den andra termen kvadratkompletterar vi nämnaren: $x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}= \frac{3}{4}\left(1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt 3}\right)^2\right)$ Alltså är $\int\frac{dx}{x^2+x+1}=\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt 3}{2}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt 3}+C= \frac{2}{\sqrt 3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt 3}+C$ De primitiva funktionerna till $1/(x^3-1)$ är således $\frac{1}{3}\left(\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)-\sqrt 3 \arctan\frac{2x+1}{\sqrt 3}\right)+C.$

11.9.b.Partialbråksuppdela: $\frac{x+3}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}=\frac{(A+B)x+2A}{x(x+2)}$ Detta ger $A+B=1$, $2A=3$, alltså $A=3/2$, $B=-1/2$. Alltså $\begin{array}{lll} \int_{1}^2\frac{x+3}{x(x+2)}\, dx&=& \frac{1}{2}\int_{1}^2\left(\frac{3}{x}-\frac{1}{x+2}\right)\, dx = \frac{1}{2}\left[3\ln|x|-\ln|x+2|\right]_{1}^2\\ &=& \frac{1}{2}(3\ln 2-\ln 4-3\ln 1+\ln 3)= \frac{1}{2}\ln 6\end{array}$

d.Den andra faktorn kan faktoriseras: $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$. Partialbråksuppdelning: $\frac{1}{(x+1)(x^2+2x-3)}=\frac{1}{(x+1)(x-1)(x+3)}= \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}.$ Ekvationsystemet blir $\left\{\begin{array}{ccccccc} A&+&B&+&C&=&0\\ A&+&2B&&&=&0\\ -3A&+&3B&-&C&=&1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} A&=&-1/4\\ B&=&1/8\\ C&=&1/8\end{array}\right.$ Alltså $\begin{array}{lll} \int\frac{dx}{(x+1)(x^2+2x-3)}&=& -\frac{1}{4}\ln|x+1|+\frac{1}{8}\ln|x-1|+\frac{1}{8}\ln|x+3|+C\\ &=& \frac{1}{8}\ln\frac{|(x-1)(x+3)|}{(x+1)^2}+C\end{array}$ Vi har $\lim_{x\to\infty}\ln\frac{|(x-1)(x+3)|}{(x+1)^2}= \lim_{x\to\infty}\ln\frac{(1-1/x)(1+3/x)}{(1+1/x)^2}= \ln 1=0,$ så $\begin{array}{lll} \int_{2}^{\infty}\frac{dx}{(x+1)(x^2+2x-3)}&=& \left[\frac{1}{8}\ln\frac{|(x-1)(x+3)|}{(x+1)^2}\right]_{2}^{\infty}\\ &=& -\frac{1}{8}\ln\frac{1\cdot 5}{3^2}=\frac{1}{8}\ln\frac{9}{5}.\end{array}$

e.Här är partialbråksuppdelningen $\frac{17x^2-x-26}{(x^2-1)(x^2-4)}=\frac{1}{3}\left( -\frac{4}{x+1}+\frac{5}{x-1}-\frac{11}{x+2}+\frac{10}{x-2}\right)$ och integralen blir $\begin{array}{lll} &\frac{1}{3}\left[-4\ln|x+1|+5\ln|x-1|-11\ln|x+2|+10\ln|x-2|\right]_{3}^4&\\ &=\frac{1}{3}(7\ln 5-6\ln 3+2\ln 2).&\end{array}$

11.10.Partialbråksuppdelning ger $\begin{array}{lll} t&=&\int_{N_{0}}^{N}\frac{K\, dn}{n(M-n)}= \frac{K}{M}\int_{N_{0}}^{N}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{M-n}\right)\, dn\\ &=& \frac{K}{M}\left[\ln |n|-\ln|M-n|\right]_{N_{0}}^{N}= \frac{K}{M}\left(\ln\frac{N}{M-N}-\ln\frac{N_{0}}{M-N_{0}}\right) \end{array}$ Detta ger i sin tur $\frac{N}{M-N}=\frac{N_{0}}{M-N_{0}}\, e^{Mt/K}\quad \mbox{och}\quad N=\frac{N_{0}Me^{Mt/K}}{N_{0}(e^{Mt/K}-1)+M}.$ För att kunna se vad som händer då $t\to\infty$ förkortar vi med $e^{Mt/K}$: $N=\frac{N_{0}M}{N_{0}(1-e^{-Mt/K})+Me^{-Mt/K}}.$ Eftersom $e^{-Mt/K}\to 0$ då $t\to\infty$, så får vi Misslyckades med att tolka formel. (okänt fel): N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M\quad\mbox{då $t\to\infty$}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/mm1001_0701/index.php/L%C3%B6sningar_19

-b.'''Vi faktoriserar nämnaren genom att bestämma dess nollställen:
+'''11.6.b)'''
+Vi faktoriserar nämnaren genom att bestämma dess nollställen:
 <math>
 x-x^2-5=0\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\Leftrightarrow
 x=3±\sqrt{9-5}=3±2</math>
-Nollställena är $x=1$ och $x=5$, så <math>
+Nollställena är $x=1$ och $x=5$, så
+<math>
 x-x^2-5=-(x-1)(x-5)=(1-x)(x-5).</math>
-Partialbråksuppdelningen har utseendet <math>
+Partialbråksuppdelningen har utseendet
+<math>
 \frac{1}{6x-x^2-5}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{x-5}</math>
-och gör vi liknämnigt så får vi <math>
+och gör vi liknämnigt så får vi
+<math>
 \frac{A}{1-x}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(1-x)}{(1-x)(x-5)}=
 \frac{(A-B)x-5A+B}{6x-x^2+5}.</math>
-Alltså måste <math>
+Alltså måste
+<math>
 \left\{\begin{array}{ccc}
 A-B&=&0\\
 \Leftrightarrow
 A=B=-\frac{1}{4}.</math>
-Detta ger <math>
+Detta ger
+<math>
 \frac{1}{6x-x^2-5}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x-5}\right).</math>

Lösningar 19

Matematik för naturvetare 15hp

Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.21

Lösningar till några övningar till lektion 19

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda