Lektion 2

Matematik för naturvetare 15hp

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Tillbaka till läsanvisningarna

[redigera] Välkommen till Lektion 2!

I den här lektionen ska vi lära oss om logik, mängdlära, absolutbelopp och intervall.

Du ska studera följande kapitel i boken:

0.1-0.6 Logik och mängdlära
1.3 Absolutbelopp
1.4 Intervall

Viktiga saker att tänka på när du läser

Kapitel 0 innehåller matematikens språk, dvs hur man skriver påståenden och mängder. Det kan vara svårt att ta till sig allt så här i början. Återgå gärna till kapitlet senare när du upplever att det är något du behöver förstå. Du har redan stött på användning av matematikens språk i förra lektionen, t.ex. när det gällde att bilda de olika talmängderna eller vid lösning av ekvationer och olikheter. Då används ofta "ekvivalenspil", $\Longleftrightarrow$. Implikationspilen $\Longrightarrow$ användes i beviset av Sats 1.1. Hur man använder dessa pilar är nog det viktigaste att lära sig vad gäller logiken. Studera därför noggrant exemplen 0.6 - 0.9 (och fördjupa dig inte alltför mycket i exempel 0.5).

Avsnitt 0.4 är kanske svårsmält. Det gäller att inte bli förskräckt av själva symbolerna $\forall$ "för alla" och $\exists$ "det existerar". Det är inte nödvändigt att använda symbolerna, man kan lika gärna använda de språkliga uttrycken "för alla" och "det existerar". Man behöver dessa logiska operatorer för att kunna uttrycka matematiska påståenden som "för alla reella tal $x$ gäller att $x^2\ne-1$" och "det existerar ett reellt tal $x$ som uppfyller att $x^2=1$".

Vad gäller avsnitt 0.6, så är det bra om du bekantar dig med mängdoperationerna "union", "snitt", "mängdskillnad" och "komplement" genom att rita upp ett Venn-diagram, gärna med tre mängder som på sid 18. Vilket område i figuren på sid 18 utgör $C\setminus(A\cup B)$? Vilket område utgör $(A\cap B)\setminus C$? Hur kan du beskriva området i mitten? Hur kan du beskriva området utanför de tre cirklarna?

I avsnitt 1.3 införs det viktiga "absolutbeloppet", $|a|$ som utläses "a absolut". Även om definitionen är enkel, så brukar det ändå ta en viss tid att vänja sig vid begreppet. Observera att villkoret i definitionen att $|a|=-a$ om $a<0$ inte innebär att $|a|$ är negativt i detta fall. Om $a<0$ är ju nämligen $-a>0$. Den viktigaste användningen av absolutbeloppet är att kunna uttrycka avstånd. Det står i boken att avståndet mellan två godtyckliga punkter $a$ och $b$ på tallinjen betecknas med $|a-b|$. Detta är inte så bra formulerat. Absolutbeloppet är redan definierat, så $|a-b|$ har en bestämd mening, vilket visar sig med eftertanke vara precis avståndet mellan $a$ och $b$. Vi har alltså följande viktiga påstående:

Avståndet mellan två punkter a och b på tallinjen är lika med $|a-b|$, dvs absolutbeloppet av skillnaden mellan talen.

Avståndet mellan punkten $x$ och punkten 1 på tallinjen är ju $x-1$ om $x\ge1$ men $1-x$ om $x<1$. Detta kan enkelt uttryckas som att avståndet är $|x-1|$ oberoende av var punkten $x$ ligger. Att punkten $x$ på tallinjen ligger på ett avstånd från punkten 1 som är mindre än 2 kan uttryckas som att $|x-1|<2$. Alla punkter som uppfyller detta villkor utgöres av alla $x$ som uppfyller att $-1<x<3$, dvs $(-1<x)\land(x<3)$. Detta kallas för ett öppet intervall (avsnitt 1.4) och skrives $]-1,3[$. Att punkten $x$ på tallinjen ligger på ett avstånd från punkten 1 som är större än 2 kan uttryckas som att $|x-1|>2$. Alla punkter som uppfyller detta villkor utgöres av alla $x$ som uppfyller att $(x<-1)\lor(x>3)$. Rita på tallinjen!

Exempel 1.8 är extremt långt, men är ändå nyttigt att försöka ta sig igenom. För att förstå hur man kommer från (1) till (1a) eller (1b) kan man tänka så här. Kalla uttrycket innanför absolutbeloppet för a. Vi har enligt (1) att $|a|>2$. Detta innebär att avståndet från $a$ till origo skall vara större än 2. Alltså gäller att $a>2$ eller $a<-2$. Fallet $a<-2$ är (1a) och fallet $a>2$ är (1b). På samma sätt kan man behandla (2). Om vi också här kallar uttrycket innanför absolutbeloppet för $a$ så gäller alltså enligt (2) att $|a|\le4$. Det innebär alltså att avståndet mellan $a$ och origo är mindre än eller lika med 4, dvs $a$ uppfyller att $-4\le a\le4$, vilket betyder att $-4\le a$ och $a\le 4$. Första fallet är (2a) och det andra är (2b).

I avsnitt 1.4 används mängdbeteckningar för att beskriva intervall. T.ex. $\{x\in\mathbf R|\ x\ge2\}$ som utläses "mängden av alla x som tillhör $\mathbf R$ sådana att x är större än eller lika med två". Eller $\{x\in\mathbf R|\ |x-1|\le3\}$ som utläses "mängden av alla x sådana att x minus 1 absolut är mindre än eller lika med tre". Bokens beskrivning av en omgivning till $a$ bör ändras till

Det öppna intervallet $\{x\in\mathbf R|\ |x-a|<b\}=]a-b,a+b[$, där $a\in\mathbf R$ och $b\in\mathbf R_+$ kallas en omgivning till $a$.

Lämpliga övningsuppgifter till Lektion

Välj bland följande uppgifter i boken: 0.1-0.3, 0.8-0.10, 0.18, 1.8-1.12

Tillbaka till läsanvisningarna

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/mm1001_0701/index.php/Lektion_2

-==Välkommen till Lektion #!==
+[[Läsanvisningar | Tillbaka till läsanvisningarna]]
-I den här lektionen...
+==Välkommen till Lektion 2!==
+I den här lektionen ska vi lära oss om logik, mängdlära, absolutbelopp och intervall.
 Du ska studera följande kapitel i boken:
-*
+* 0.1-0.6 Logik och mängdlära
+* 1.3 Absolutbelopp
+* 1.4 Intervall
 '''Viktiga saker att tänka på när du läser'''
+Kapitel 0 innehåller matematikens språk, dvs hur man skriver påståenden och mängder. Det kan vara svårt att ta till sig allt så här i början. Återgå gärna till kapitlet senare när du upplever att det är något du behöver förstå. Du har redan stött på användning av matematikens språk i förra lektionen, t.ex. när det gällde att bilda de olika talmängderna eller vid lösning av ekvationer och olikheter. Då används ofta "ekvivalenspil", $\Longleftrightarrow$. Implikationspilen $\Longrightarrow$ användes i beviset av Sats 1.1. Hur man använder dessa pilar är nog det viktigaste att lära sig vad gäller logiken. Studera därför noggrant exemplen 0.6 - 0.9 (och fördjupa dig inte alltför mycket i exempel 0.5).
+Avsnitt 0.4 är kanske svårsmält. Det gäller att inte bli förskräckt av själva symbolerna $\forall$ "för alla" och $\exists$ "det existerar". Det är inte nödvändigt att använda symbolerna, man kan lika gärna använda de språkliga uttrycken "för alla" och "det existerar". Man behöver dessa logiska operatorer för att kunna uttrycka matematiska påståenden som "för alla reella tal $x$ gäller att $x^2\ne-1$" och "det existerar ett reellt tal $x$ som uppfyller att $x^2=1$".
+Vad gäller avsnitt 0.6, så är det bra om du bekantar dig med mängdoperationerna "union", "snitt", "mängdskillnad" och "komplement" genom att rita upp ett Venn-diagram, gärna med tre mängder som på sid 18. Vilket område i figuren på sid 18 utgör $C\setminus(A\cup B)$? Vilket område utgör $(A\cap B)\setminus C$? Hur kan du beskriva området i mitten? Hur kan du beskriva området utanför de tre cirklarna?
+I avsnitt 1.3 införs det viktiga "absolutbeloppet", $|a|$ som utläses "a absolut". Även om definitionen är enkel, så brukar det ändå ta en  viss tid att vänja sig vid begreppet. Observera att villkoret i definitionen att $|a|=-a$ om $a<0$ inte innebär att $|a|$ är negativt i detta fall. Om $a<0$ är ju nämligen $-a>0$. Den viktigaste användningen av absolutbeloppet är att kunna uttrycka avstånd. Det står i boken att avståndet mellan två godtyckliga punkter $a$ och $b$ på tallinjen ''betecknas med'' $|a-b|$. Detta är inte så bra formulerat. Absolutbeloppet är redan definierat, så $|a-b|$ har en bestämd mening, vilket visar sig med eftertanke vara precis avståndet mellan $a$ och $b$. Vi har alltså följande viktiga påstående:
+''Avståndet mellan två punkter a och b på tallinjen är lika med $|a-b|$, dvs absolutbeloppet av skillnaden mellan talen.''
+Avståndet mellan punkten $x$ och punkten 1 på tallinjen är ju $x-1$ om $x\ge1$ men $1-x$ om $x<1$. Detta kan enkelt uttryckas som att avståndet är $|x-1|$ oberoende av var punkten $x$ ligger. Att punkten $x$ på tallinjen ligger på ett avstånd från punkten 1 som är mindre än 2 kan uttryckas som att $|x-1|<2$. Alla punkter som uppfyller detta villkor utgöres av alla $x$ som uppfyller att $-1<x<3$, dvs $(-1<x)\land(x<3)$. Detta kallas för ett öppet intervall (avsnitt 1.4) och skrives $]-1,3[$. Att punkten $x$ på tallinjen ligger på ett avstånd från punkten 1 som är större än 2 kan uttryckas som att $|x-1|>2$. Alla punkter som uppfyller detta villkor utgöres av alla $x$ som uppfyller att $(x<-1)\lor(x>3)$. Rita på tallinjen!
+Exempel 1.8 är extremt långt, men är ändå nyttigt att försöka ta sig igenom. För att förstå hur man kommer från (1) till (1a) eller (1b) kan man tänka så här. Kalla uttrycket innanför absolutbeloppet för a. Vi har enligt (1) att $|a|>2$. Detta innebär att avståndet från $a$ till origo skall vara större än 2. Alltså gäller att $a>2$ eller $a<-2$. Fallet $a<-2$ är (1a) och fallet $a>2$ är (1b). På samma sätt kan  man behandla (2). Om vi också här kallar uttrycket innanför absolutbeloppet för $a$ så gäller alltså enligt (2) att $|a|\le4$. Det innebär alltså att avståndet mellan $a$ och origo är mindre än eller lika med 4, dvs $a$ uppfyller att $-4\le a\le4$, vilket betyder att $-4\le a$ ''och'' $a\le 4$. Första fallet är (2a) och det andra är (2b).
+I avsnitt 1.4 används mängdbeteckningar för att beskriva intervall. T.ex. $\{x\in\mathbf R|\ x\ge2\}$ som utläses "mängden av alla x som tillhör $\mathbf R$ sådana att x är större än eller lika med två". Eller $\{x\in\mathbf R|\ |x-1|\le3\}$ som utläses "mängden av alla x sådana att x minus 1 absolut är mindre än eller lika med tre". Bokens beskrivning av en ''omgivning'' till $a$ bör ändras till
+Det ''öppna'' intervallet $\{x\in\mathbf R|\ |x-a|<b\}=]a-b,a+b[$, där $a\in\mathbf R$ och $b\in\mathbf R_+$ kallas en ''omgivning'' till $a$.
+'''Lämpliga övningsuppgifter till Lektion '''
+Välj bland följande uppgifter i boken: 0.1-0.3, 0.8-0.10, 0.18, 1.8-1.12
-'''Lämpliga övningsuppgifter till Lektion #'''
-Välj bland följande uppgifter i boken:
+[[Läsanvisningar | Tillbaka till läsanvisningarna]]

Lektion 2

Matematik för naturvetare 15hp

Nuvarande version

[redigera] Välkommen till Lektion 2!

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda