Lektion 6

Matematik för naturvetare 15hp

Versionen från 6 september 2007 kl. 11.41 (redigera) Clas Löfwall (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Nuvarande version (6 september 2007 kl. 14.18) (redigera) (ogör) Clas Löfwall (Diskussion | bidrag)
(2 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 88:		Rad 88:
	$$x^a=e^{a\ln x}$$		$$x^a=e^{a\ln x}$$
-	Det är viktigt att känna till hur graferna till potensfunktionerna ser ut. Alla graferna går genom punkten $(1,1)$. Funktionen $y=x^a$ är växande och konvex för $a>1$ (typexempel y=x^2), växande och konkav för $0<a<1$ (typexempel $y=x^{1/2}=\sqrt x$) och avtagande och konvex för $a<0$ (typexempel $y=x^{-1}=1/x$). (En kurva säges vara konvex/konkav om varje linje ligger ovanför/under kurvan mellan skärningspunkterna med kurvan.) Inversen till en potensfunktion är också en potensfunktion. Inversen till $y=x^a$ är $y=x^{1/a}$ eftersom för alla $x>0$ gäller att	+	Det är viktigt att känna till hur graferna till potensfunktionerna ser ut. Funktionen $y=x^a$ är växande och konvex för $a>1$ (typexempel y=x^2), växande och konkav för $0<a<1$ (typexempel $y=x^{1/2}=\sqrt x$) och avtagande och konvex för $a<0$ (typexempel $y=x^{-1}=1/x$). (En kurva säges vara konvex/konkav om varje linje ligger ovanför/under kurvan mellan skärningspunkterna med kurvan.) Inversen till en potensfunktion är också en potensfunktion. Inversen till $y=x^a$ är $y=x^{1/a}$ eftersom för alla $x>0$ och $y>0$ gäller att
-	$$(x^a)^{1/a}=x^{a*1/a}=x^1=x$$	+	$$y=x^a\ \Leftrightarrow\ x=y^{1/a}$$
-	Till exempel är inversen till $y=x^n$, där $n>1$ är ett heltal, funktionen $y=x^{1/n}=\rot{n}{x}$	+	Till exempel är inversen till $y=x^n$, där $n>1$ är ett heltal, funktionen $y=x^{1/n}=\root{n}\of{x}$
-	Slutligen studeras exponentialfunktioner och logaritmfunktioner. Dessa har tillämpningar i oväntat många sammanhang. Säkert har du hört talas om exponentiell tillväxt vid något tillfälle (bakterier antas t.ex. ofta växa exponentiellt under gynnsamma förhållanden). Exponentialfunktionen och logaritmfunktionen är varandras inverser vilket förklaras närmare i boken (se t.ex exemplet om bambuplantans tillväxt).	+	Slutligen studeras exponentialfunktioner och logaritmfunktioner. Dessa har tillämpningar i oväntat många sammanhang. Säkert har du hört talas om exponentiell tillväxt vid något tillfälle (bakterier antas t.ex. ofta växa exponentiellt under gynnsamma förhållanden). Exponentialfunktionen och logaritmfunktionen är varandras inverser vilket förklaras närmare i boken sid 117.
-		+

---

Nuvarande version

Tillbaka till läsanvisningarna

[redigera] Välkommen till Lektion 6!

I den här lektionen lär vi oss vad en elementär funktion är för något och vad de har för egenskaper.

Du ska studera följande kapitel i boken:

• 4.1 Elementära funktioner
• 4.2 Polynomfunktioner
• 4.3 Exponentialfunktioner
• 4.4 Logaritmfunktioner

Viktiga saker att tänka på när du läser

I kapitel 4.1 studerar vi så kallade polynomfunktioner som är den enklaste typen av funktioner. Inledningsvis studeras andragradspolynom och den viktiga tekniken med kvadratkomplettering som är mycket användbar när man ska lösa ekvationer av grad 2. Se till att du verkligen förstår hur detta går till! Utmärkande för en polynomfunktion i allmänhet är att man så enkelt kan beräkna dess värde i olika punkter eftersom beräkningarna bara involverar multiplikationer och additioner. Betrakta t.ex. $e^{0,1}$ eller $\sin 0,25$. Dessa två är exempel på exponentialfunktioner respektive trigonometriska funktioner. Värdet av dessa är förstås inte så enkla att räkna ut.

En väldigt trevlig egenskap hos polynomfunktionerna är att vi kan få kännedom om dess nollställen genom att faktorisera polynomet i fråga (vi kommer alldeles strax till vad detta innebär). Detta beror på ett väldigt grundläggande matematiskt resultat som kallas faktorsatsen. Framställningen i boken är något knapphändig när det gäller polynomdivision och sambandet med faktorsatsen så vi ska här ge en lite mer utförlig förklaring till hur ett polynoms ingående faktorer och nollställen hänger ihop.

Låt $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots+a_{n}x^n$ vara ett polynom. Man säger att ett polynom $q(x)$ delar $p(x)$ om det finns ett polynom $f(x)$ sådant att $p(x)=f(x)\cdot q(x)$. Vi säger då att $q$ är en faktor i $p$. Att skriva ett polynom $p(x)$ som en produkt av andra polynom kallas att faktorisera $p(x)$. Skriver man ut polynomet som en produkt av samtliga ingående faktorer så säger man att man har faktoriserat polynomet fullständigt (eller skrivit ut den fullständiga faktoriseringen av polynomet).

Exempelvis gäller att $q(x)=x-1$ delar $p(x)=x^3-1$ eftersom $x^3-1=(x^2+x+1)(x-1)$ (här är med andra ord $f(x)=x^2+x+1$). Observera att koefficienterna inte nödvändigtvis måste vara heltal i de ingående faktorerna.

Den viktiga faktorsatsen visar att det finns ett samband mellan faktorer av grad 1 och nollställen:

Faktorsatsen

Talet $\alpha$ är ett nollställe till $p(x)$ om och endast om $x-\alpha$ delar $p(x)$.

Bevis för faktorsatsen

Om $x-\alpha$ delar $p(x)$ så kan vi skriva $p(x)=f(x)(x-\alpha)$ för något polynom $f(x)$. Då blir

$p(\alpha)=f(\alpha)(\alpha-\alpha)=f(\alpha)\cdot 0=0.$

"Om"-delen i beviset är således nästan trivial.

Antag alltså att $p(\alpha)=0$. I specialfallet då $\alpha=0$ är förstås $p(0)=0$. Om vi sätter in $x=0$ i $p$ så får vi $p(0)=a_{0}$, så tydligen måste $a_{0}=0$. Detta innebär alltså att

$p(x)=a_{1}x+a_{2}x^2+\ldots+a_{n}x^n=x(a_{1}+a_{2}x+\ldots+a_{n}x^{n-1})= f(x)\cdot x.$

Alltså är $p$ delbart med $x-\alpha=x-0=x$, vilket visar specialfallet.

För att visa påståendet allmänt antar vi att $p(\alpha)=0$ och sätter $p_{1}(x)=p(x+\alpha)$. Då är $p_{1}(x)$ förstås också ett polynom och $p_{1}(0)=p(0+\alpha)=p(\alpha)=0$. Enligt specialfallet gäller $p_{1}(x)=f_{1}(x)\cdot x$ för något polynom $f_{1}(x)$. Alltså är

$p(x)=p((x-\alpha)+\alpha)=p_{1}(x-\alpha)=f_{1}(x-\alpha)\cdot (x-\alpha)=f(x)\cdot (x-\alpha),$

där $f(x)=f_{1}(x-\alpha)$ är ett polynom. Beviset är därmed klart.

Beviset för faktorsatsen är förstås inget som ingår i kursen, men det kan ändå vara bra att ha sett hur det går till för att förstå det här med polynomdivision. Hittills har vi pratat om polynomdivision och faktorer som om $q$ alltid delar $p$ för två godtyckliga polynom $p$ och $q$ men så är det förstås inte. Precis som när man dividerar heltal kan det ofta bli en kvot och en rest. För att få fram kvoten och resten när vi talar om polynom utför man polynomdivisionen med en metod som påminner väldigt mycket om den klassiska liggande stolen för heltal. Det bästa sättet att förstå hur detta gå till är genom att jobba med bokens exempel och övningsuppgifter.

Ibland kan man direkt med hjälp av faktorsatsen avgöra huruvida ett polynom $q$ delar polynomet $p$, betrakta t.ex. $p(x)=x^{100}-1$ och $q(x)=x-1$. Eftersom $p(1)=1^{100}-1=0$, så är $x=1$ ett nollställe och således delar $q$ enligt faktorsatsen $p$. Om vi av någon anledning vill veta vad kvoten är så måste vi dock utföra divisionen.

I Exempel 4.11 påstås det att man ibland kan gissa rötter till en ekvation, här följer en liten förklaring till varför det faktiskt förhåller sig så.

Låt oss gissa på att $x^3-2x^2-5x+6=0$ har en rot $a$ som är ett heltal. Då har vi $a^3-2a^2-5a+6=0$ vilket kan skrivas

$6=-a^3+2a^2+5a=a(-a^2+2a+5).$

Eftersom vi antog att $a$ är ett heltal, så måste även $-a^2+2a+5$ vara det, så $a$ måste vara ett tal som delar 6. De enda möjligheterna är således $a=±1,±2,±3$ och $±6$. Prövning visar att 1 är en rot och enligt faktorsatsen är $x^3-2x^2-5x+6$ alltså delbart med $x-1$ och genom polynomdivision kan vi nu få fram de övriga rötterna (se boken).

Något som faktiskt inte behandlas i kapitel 4 i boken är potensfunktioner, $y=x^a$ , $x>0$, där $a$ är ett reellt tal (se dock slutet av avsnitt 4.3). Dessa funktioner kommer att behandlas senare i boken, se t.ex. Exempel 6.16 där man härleder derivatan av potensfunktionen. Där står också ett sätt att definiera potensfunktionen med hjälp av logaritmfunktonen och exponentialfunktionen, nämligen som

$$x^a=e^{a\ln x}$$

Det är viktigt att känna till hur graferna till potensfunktionerna ser ut. Funktionen $y=x^a$ är växande och konvex för $a>1$ (typexempel y=x^2), växande och konkav för $0<a<1$ (typexempel $y=x^{1/2}=\sqrt x$) och avtagande och konvex för $a<0$ (typexempel $y=x^{-1}=1/x$). (En kurva säges vara konvex/konkav om varje linje ligger ovanför/under kurvan mellan skärningspunkterna med kurvan.) Inversen till en potensfunktion är också en potensfunktion. Inversen till $y=x^a$ är $y=x^{1/a}$ eftersom för alla $x>0$ och $y>0$ gäller att

$$y=x^a\ \Leftrightarrow\ x=y^{1/a}$$

Till exempel är inversen till $y=x^n$, där $n>1$ är ett heltal, funktionen $y=x^{1/n}=\root{n}\of{x}$

Slutligen studeras exponentialfunktioner och logaritmfunktioner. Dessa har tillämpningar i oväntat många sammanhang. Säkert har du hört talas om exponentiell tillväxt vid något tillfälle (bakterier antas t.ex. ofta växa exponentiellt under gynnsamma förhållanden). Exponentialfunktionen och logaritmfunktionen är varandras inverser vilket förklaras närmare i boken sid 117.

Lämpliga övningsuppgifter till Lektion 6

Välj bland följande uppgifter i boken: 4.1-4.3, 4.5, 4.7-4.9, 4.11, 4.14, 4.15.

Tillbaka till läsanvisningarna